y=x exp(-x) の変曲点を求める問題について

y=x exp(-x) の変曲点を求める問題で、増減表を書いていました。
以下のサイトの問題1です。
https://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou3/outotu.htm

yの導関数
y' = exp(-x) -x exp(-x)
について、
x = 1, y' = 0
x = 2, y'= マイナス
であることがわかりました。

そこで x が 1から2 の間では y'がどうなるのかを調べるため、
x=1/2を代入し、 y'の正負を確かめました。

すると exp(-0.5) - 0.5 exp(-0.5) = 0.3... > 0 であったため
ここは y' = + になると考えました。
しかし、上記サイトでは 1 と 2 間の符号はマイナスになっていました。

これはなぜでしょうか？また、実際に値を入れて符号を確かめる以外に確実な方法はありますか？

上記二点をご教授いただけると幸いです。

よろしくお願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/04/26 14:25

y'=exp(-x)-xexp(-x)

=exp(-x)(1-x)

exp(-x)>0 より、
x<1 のとき、y'>0
x>1 のとき、y'<0

x=1/2 は１より小さいですから、y'>0 です。

この回答へのお礼

サイトの増減表に誤りがあるということで納得しました。
ありがとうございました。

お礼日時：2020/04/26 16:01

No.2 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/04/26 14:27

変曲点は導関数ではなく、2階導関数で確認する。

y'(x)=e^(-x) - xe^(-x)
y''(x)=-e^(-x) - e^(-x) + xe^(-x)
=-2e^(-x) + xe^(-x)

y''(1)=-2e^(-1)+e^(-1)=-1/e<0
y''(2)=-2e^(-2)+2e^(-2)=0
y''(3)=-2e^(-3)+3e^(-3)=1/e^3>0

x=2が変曲点となる。

No.3 回答者： springside 回答日時： 2020/04/26 14:53

変曲点を求めたいんでしょ。

それなら、1階微分y'ではなく、2階微分y''の符号を調べないとだめ。