常微分の問題について

微分方程式を求めよ。
dy/dx-2y=e^(-3x) が分かりません。

変数分離形にするところでつまづいています。
dx［e^(-3x)+2y］=dy
ここからどうすればいいのか分かりません・・・(そもそもこの途中式が合っているかどうかも分からないです・・・)

ご教授下さい。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/05/03 17:37

＞積分因子法とは違うのですか？

参考書がそう呼んでいるなら、その界隈ではそう呼ぶんじゃない？
数学用語ではないし、受験用語のことはよく知らない。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/05/03 08:02

名前は...

「完全微分形に変換」かな。

この回答へのお礼

積分因子法とは違うのですか？

お礼日時：2020/05/03 16:59

No.3 回答者： konjii 回答日時： 2020/05/03 06:44

・・・両辺にe^(-2x)を欠けるのですか・・・？

なんというか、名前とかありますでしょうか？(e^-2xを両辺にかけることを)

説明しますね。
合成関数の微分の逆を利用しています。
(f(x)g(x))'=f(x)'g(x)+f(x)g'(x)
両辺にe^(-2x)をかけると　f(x)=e^(-2x)　g(x)=y になります。そうすると、
f(x)'g(x)+f(x)g'(x)=-2e^(-2x)y+e^(-2x)dy/dx の形になって
(f(x)g(x))'＝d(e^(-2x)y)/dx　になります。
d(e^(-2x)y)/dx＝e^(-5x)
d(e^(-2x)y)＝e^(-5x)ｄｘ　となって、両辺積分すれば答えがでます。

微分方程式を解く1つのテクニックです。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/05/03 01:33

じゃ、私はラプラス変換で解きます。

sY-y(0)-2Y=1/(s+3)
Y=1/{(s+3)(s-2)} + y(0)/(s-2)=(1/5){1/(s-2) - 1/(s+3)} + y(0)/(s-2)
よって
y(x)=(-1/5)e^(-3x) + {1/5 + y(0)}e^(2x)

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/05/03 00:24

これ、すごくよくあるやつ。

式の両辺に e^(-2x) をかけると
e^(-2x)(dy/dx) + (-2)e^(-2x)y = e^(-2x)e^(-3x) を経て
(d/dx){ e^(-2x)y } = e^(-5x).
積分して、e^(-2x)y = (-1/5)e^(-5x) + (定数) だから
y = (-1/5)e^(2x)e^(-5x) + (定数)e^(2x)
　= (-1/5)e^(-3x) + (定数)e^(2x).

この回答へのお礼

・・・両辺にe^(-2x)を欠けるのですか・・・？
なんというか、名前とかありますでしょうか？(e^-2xを両辺にかけることを)

お礼日時：2020/05/03 00:28