降伏応力の考え方（トラスの設計で）

「その材料の降伏応力が120MPaのとき」変位が10mm以下になるようにトラス（均一部材）の断面積の最小値を求める。
というような設問があった場合、降伏応力を単純に、σ=Eε（E: ヤング率、ε: ひずみ）として計算してよいのか自信がないので、ご意見を伺いたいです。

この分野はあまり専門ではないのですが、私が少し勉強した限りでは
降伏応力（正確には単軸降伏応力）は、材料を測定して得られた値であり、σ=Eεという関係式はあくまで線形関係の近似であるため、この式を使ってよいかも少し自信がありません。
また、σ=Eεは１次元での話なので、複雑なトラス（2,3次元、圧縮や引っ張りの方向が軸方向と一致しているとは限らない）にこの式を使ってよいものか？という懸念もあります。

何冊か調べましたが、問題集には降伏応力が条件となっているトラスの計算が載っていないので、一般的に解く方法等ありましたら、合わせて教えていただきたいです。

宜しくお願いします。

No.2 回答者： masa2211 回答日時： 2020/05/16 13:42

トラスは、複雑であってもなくても、部材力は軸力だけであり、せん断/モーメント/ねじれは働きません。

（正確には、軸力だけが働くとして部材力を解く。自重量などは接点にかける。）
よって、部材のひずみ量は、ε＝σ/Eでok.

回答1で、
＞直交する２方向のひずみε_{yy},ε_{zz}はゼロではない
とあるのは、
部材が引張りを受けると長さが伸び、かつ細くなる
という現象のことであり、せん断による変形のことではありません。

＞y軸方向にも外力がかかっているのは要素剛性マトリクスの計算からも明らかです。
トラス全体の座標と、特定部材の座標を混同しています。
回答1のｘ方向というのは、部材の軸方向のことで、それに直角なのがｙとｚ。
要素剛性マトリクスでXとYに外力がかかるのは、トラス全体の座標系におけるXとYだから。
要素剛性マトリクスを解き、特定部材の座標系に戻すと、トラス部材は軸力のみとなります。

＞降伏応力が条件となっているトラスの計算
何をしたいかわかりませんが.....
通常、トラス部材に生じる応力は全部材において降伏応力未満です。
何故なら、降伏応力に達すると、それ以上の力を受け持てず、大きく変形してしまい、構造物として使い物にならないから。
よって、大地震の挙動、のような特殊条件以外の時は弾性範囲内での設計となるので、降伏応力に達しない条件での設計となります。
降伏条件でどうしても計算したいなら。「保有耐力」で検索してください。こちらの場合、どれだけ変位してもよい、という条件となります。

＞問題集には降伏応力が条件となっているトラスの計算が載っていない
通常、降伏しない（＝弾性内である）という条件で解いて、許容応力（すなわち降伏応力未満）以内なるよう断面を決めるので、降伏応力を条件にしません。

で、部材が、軸力とせん断力と両方受ける場合。（必然、モーメントも受ける。）
教科書の、以下のいずれかの個所にたいてい載っています。どのみち、トラスではないけど。
・梁の応力
・偏心を受ける柱

No.1 回答者： han-ka-2 回答日時： 2020/05/09 20:33

引張試験片を見たことはありますか。

丸棒なら一番簡単ですが，薄板でもほぼ同じ応力状態になると思いませんか？つまり，x方向だけに引っ張っているとすると，y,z方向の応力はゼロになるでしょう。だって，すごく薄いとか半径が試験片の長さに比べて小さいから。ということは，少なくとも平面応力状態（これは知ってないとまずいですよね？）ですが，さらにもう一つの軸方向も応力がゼロなんです。だとすると，３次元のフックの法則で，その二方向の応力がゼロだとすると，σ_{xx}=E ε_{xx} になりませんか？この際だから，自分で確かめてください。ただし直交する２方向のひずみε_{yy},ε_{zz}はゼロになりませんよ。
　さて，トラス！！！　どう習いましたか？x,y,zという人間が勝手に定義した座標方向とは無関係に，そのトラスの部材の軸方向にだけ抵抗して軸力が生じると習ってませんか？しかも，その場合は断面内の応力分布は一様だということです。ちょうど引張試験の試験片と同じじゃないですか？そう思いませんか？なら，トラス部材の軸力がNのとき，その部材の断面にはどの大きさの応力が生じていますか？そして，それが降伏するのは？あとはご自分でご判断ください。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
引張試験片は教科書でしか見たことがありません。

説明が下手で申し訳ありません。
>>ただし直交する２方向のひずみε_{yy},ε_{zz}はゼロになりませんよ。
これがまさに私の懸念しているポイントなんです。

σ_{xx}=E ε_{xx} は分かります。
（2次元トラスとして、z軸方向はいったん考慮不要として）
y軸方向にも外力がかかっているのは要素剛性マトリクスの計算からも明らかです。そこで、せん断応力の式（教科書に載っているもの）が思い浮かびました。

設問が単に「降伏応力が120MPaのとき、断面積を求めなさい」なので、この降伏応力が、軸方向の応力（σ_{xx}）とσ_{yy}のベクトル合成と考えて良いのか？が知りたいポイントです。

各節点の変位はすでに求まっているので、軸方向の変化量をσ_{xx}=E ε_{xx} に適用。
軸と垂直方向の変化量をせん断応力の算出に使うことで、σ_{yy}は求まりますが、それぞれの式の概念が違うので、単純にベクトル合成したものが降伏応力となるのかが分からないです。

お礼日時：2020/05/10 16:59