組み合わせ総数を知りたい

サイトで、「ＰＩＮ　＆　ＨＯＬＥ」なるパズルを知りました。
それぞれ形の違う12枚の板があり、
これを1段に3枚ずつ4段に積み、箱に収めるというモノです。
板にはそれぞれ穴(HOLE)や出っ張り(PIN)が在るので、
上手く組み合わせないと箱に収まらない、というのがミソでして。

前置きが長くなりました。

極端にはパズルはどうでも宜しいのですが、
このパズルに「解は1026通り」と在りました。

ココで質問ですが、
12枚の板が全て同じモノで在れば組み合わせは１通りと思いますが、
全て違う場合の組み合わせは何通りになるのでしょうか。

例えば、10000通りなら、このパズルは　1026／10000ということになり
10%しかないかなりの難しさ？でしょうか。

ということで、
12枚の違う板を 3枚／段で4段に積む組み合わせ総数を教えて下さい。
宜しくお願いします。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/05/12 19:36

これですかね。

↓
http://www.jyuta.net/puzzle/hanayama-woody/PinAn …

12枚の板が、おそらく裏表に使えて、表裏を固定しても180°回せます。
各段に板3枚づつを置く置き方も、90°ひねることができるように見えます。

そうであれば、まず板を箱に詰め込む位置の作り方が 2^3 通り。これは、
最下段の川の字に対して、あと3段それぞれを川の字にするか三の字にするか
の場合分けで生じます。

そのそれぞれについて、12枚の板のどれをはめこむかが 12！ 通り。
そして各板を最初に書いたように 2×2 通りに回転させることができるので、
詰め込み方の総数は (2^3)×(12！)×(4^12) ですかね。

これは、ちょっととんでもない数です。
手計算でも電卓でもできなかったので、PCに計算させたところ
64290506460364800 通りとのことでした。
6京とちょっとでしょうか。

この回答へのお礼

わざわざpcまで使って、有り難うございました。
パズルの件はたまたま前置きに使いましたが、
聞きたかったことは、
単純に、３枚／段　ｘ　４段
これだけです。
お世話になりました。

お礼日時：2020/05/12 20:58

No.2 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/05/12 17:44

1段目、2段目、3段目、4段目の板を選ぶ組合せを考えるだけでしたら、

1段目の板の選び方は、12C₃＝220（通り）

この220通りの1つ1つに対して、2段目の板の選び方は、₉C₃＝84（通り）
この2段の組合せは、220×84＝18480（通り）

この18480通りの1つ1つに対して、3段目の板の選び方は、₆C₃＝20（通り）
この3段の組合せは、18480×20＝369600（通り）

4段目の板は残りの3枚で自動的に決まりますので、4段に積む組合せの総数は369600通りです。

この回答へのお礼

早速有り難うございました。

＞1段目、2段目、3段目、4段目の板を選ぶ組合せを考えるだけでしたら、
　勿論ｙｅｓです。

良く分かりました。
このように計算するんですね。
お世話になりました。

お礼日時：2020/05/12 19:39

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2020/05/12 14:51

そのパズルのことはよく知りませんが、１枚の板の置き方は「１通り」なのか、回転のしかたによって複数通りあるのか、複数どころか「角度」によって「無限」の置き方が存在するのか、裏表はどうするとか、そういった条件がなければ何もいえません。

たとえば、三角形なら　△、▽、右向き、左向き、斜め右上向き、斜め右下向き・・・。正三角形でなければ、さらにその他いろいろなバリエーションがありますね。
それらが全部「置き方が違う」というのなら、組合せは「無限大」になると思います。