2次方程式の証明です p、qを相異なる実数とすると、2つの2次方程式x^2+px-1=0、x^2+q

2次方程式の証明です
p、qを相異なる実数とすると、2つの2次方程式x^2+px-1=0、x^2+qx-1=0は、それぞれ相異なる2つの実数解を持つことを示し、また、2つの方程式の解は、数直線上に交互に並ぶことを証明せよ。
この問題の解答解説をお願いします！

質問者からの補足コメント

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  自分でも解いたのですが、写真のように、f(a)>g(a)、g(b)<g(b)になればaとbの間に解を持つことになると思ったのですが、p>qという条件からg(b)<g(b)にならずに行き詰まってます、

  
    補足日時：2020/06/20 22:25

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/06/22 01:25

・それぞれが異なる 2つの実数解を持つ: 判別式.

・実数解が異なる: x^2+px-1=0 と x^2+qx-1=0 が共通解 x=a を持つと仮定すると pa = qa = a^2-1. a=0 は解にならないので p=q.
・解が交互に並ぶ: a < b < 0 のとき 0 < -1/a < -1/b.

ところでその画像, いくつかおかしい記述があるよ.

No.2 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/06/21 05:27

惜しいです。

あと一歩です。
f(x)=x²+px-1
f(x)=0 の解を a , b とすると、解と係数の関係により、
ab=-1<0
よって、a と b は異符号です。
a>b とすると、a>0>b となります。
これと、p>q を利用すれば、
f(a)>g(a)
f(b)<g(b)
が言えます。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/06/20 22:40

＞ それぞれ相異なる2つの実数解を持つこと

これは、判別式を見るだけ。
左の式の判別式 = p^2 + 4 ≧ 4 > 0,
右の式の判別式 = q^2 + 4 ≧ 4 > 0 なので、
どちらの方程式も ２実解を持つ。

＞ 2つの方程式の解は、数直線上に交互に並ぶこと

f(x) = x^2 + px - 1 = 0 の解を x = a, b と置く。
二次方程式の解と係数の関係から、 a+b = -p, ab = -1 である。
また、 g(x) = x^2 + qx - 1 と置く。
g(a)g(b) = (a^2 + qa - 1)(b^2 + qb - 1)
= (a^2)(b^2) + q(a^2)b + qa(b^2) + (q^2)ab - qa - qb - a^2 - b^2 + 1
= (ab)^2 + q(ab)(a+b) + (q^2)(ab) - q(a+b) - { (a+b)^2 - 2(ab) } + 1
= (-1)^2 + q(-1)(-p) + (q^2)(-1) - q(-p) - { (-p)^2 - 2(-1) } + 1
= - p^2 + 2pq - q^2
= - (p - q)^2.
よって、p ≠ q であれば g(a)g(b) < 0 である。
このことは、 f(x) = 0 の 2解の間の区間(a < x < b または b < x < a の範囲)に
g(x) = 0 の解が奇数個あることを示している。 g(x) = 0 は二次方程式だから、
解の一方がこの区間、他方がこの区間の外にあるということである。
よって題意は示された。