次の不等式を証明せよ。 |a+b+c|≦|a|+|b|+|c| (|a+b+c|)²-(|a|+|b

次の不等式を証明せよ。
|a+b+c|≦|a|+|b|+|c|

(|a+b+c|)²-(|a|+|b|+|c|)²
=a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)-{a²+b²+c³+2(|ab|+|bc|+|ca|)}
=2(ab+bc+ca)-2(|ab|+|bc|+|ca|)
=2(ab+bc+ca-|ab|-|bc|-|ca|)

ab+bc+ca-|ab|-|bc|-|ca|≧0
ゆえに　2(ab+bc+ca-|ab|-|bc|-|ca|)≧0
よって　a+b+c|≧|a|+|b|+|c|

なんでこうなっちゃうんでしょうか。自分で間違ってるところがわかりません。

No.3 回答者： syotao 回答日時： 2020/06/25 17:14

そんな計算しなくても

|a+b|≦|a|+|b|を認めれば
|(a+b)+c|≦|a+b|+|c||≦|a|+|b|+|c|　　ゆう具合にすぐ出ます。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/06/25 12:30

a>0,b>0のとき

ab-|ab|=ab-ab=0
a>0,b<0のとき　ab<0だから|ab|=-abで
ab-|ab|=ab-{-(ab)}=2ab<0
以下同様に考えて
a<0,b>0のとき
ab-|ab|=2ab<0
a<0.b<0のとき
ab-|ab|=ab-ab=0
ゆえに　ab-|ab|≦０…①
同様に　bc-|bc|≦0…②
ca-|ca|≦０…③
①②③の左辺どうしと右辺同士で足し算しても大小関係は変わらないから
ab+bc+ca-|ab|-|bc|-|ca|≦0+0+0です！

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/06/25 08:01

どんな実数 x についても x ≦ |x| だから、

ab + bc + ca - |ab| - |bc| - |ca| = (ab - |ab|) + (bc - |bc|) + (ca - |ca|) ≦ 0.
逆だから逆になる。