A 回答 (5件)
- 最新から表示
- 回答順に表示
No.5
- 回答日時:
1/4でも(1/(n+1)でも)よいです
任意のε>0
に対して
|(1/x)-1|<ε
を示すためには
|(1/x)-1|
=|(1/x)-(x/x)|
=|(1-x)/x|
=|1-x|/|x|
=|x-1|/|x|
<ε
|x-1|/|x|<ε
を示せばよい
ここで仮に
|x-1|<1/4…(1)
とすると
1-|x|≦|x-1|<1/4
1-|x|<1/4
3/4<|x|
1/|x|<4/3
↓両辺に|x-1|をかけると
|x-1|/|x|≦4|x-1|/3
となるから
4|x-1|/3<εを示せば|x-1|/|x|<εを示した事になるから
|x-1|<ε/4<3ε/4
を示せばよい
これと(1)から
δ=min(1/4,ε/4)
とすればよい事がわかる
任意のε>0
に対して
δ=min(1/4,ε/4)
とすると
|x-1|<δ
ならば
1-|x|<|x-1|<δ≦1/4
1-|x|<1/4
3/4<|x|
1/|x|<4/3
|(1/x)-1|=|x-1|/|x|<4δ/3≦ε/3<ε
No.4
- 回答日時:
∀ε>0,∃δ>0, |x - 1| < δ ⇒ |1/x - 1/1| < ε. …[1]
を満たす δ を具体的に挙げれば、証明は済む。
その δ をどうやって見つけたかは証明の一部ではない
から書かなくてかまわないのだけれど、
世間で「εδは難しい」と言われる理由の大部分は
∀ε∃δ という論理構造の難しさよりも、むしろ
例題を解いたときに δ をどうやって見つけるのか分からない
という取り付く島のなさから来ているような気はする。
で、私が δ を見つけた方法を書いてみるのだけれど...
|x - 1| < δ ⇒ |1/x - 1/1| < ε は、絶対値記号の扱いが面倒くさい。
そこで、 |x - 1| < δ を -δ < (x - 1) < 0 と 0 ≦ (x - 1) < δ に
分割してみる。 すると、
∀ε>0,∃δ>0, -δ < (x - 1) < 0 ⇒ 1/x - 1 < ε. …[2]
∀ε>0,∃δ>0, 0 ≦ (x - 1) < δ ⇒ -ε < 1/x - 1. …[3]
[1] は ([2] かつ [3]) と同値である。
δ に課す条件として [2] が [3] より厳しい。 そのことは
y = 1/x のグラフが左のほうほど切り立っていることを見れば判る。
[2] を満たす δ を見つければ [1] のために十分だということである。
そのような δ の上限を探すために、
-δ = (x - 1) のとき 1/x - 1 = ε となる δ を求めよう。
両式から x を消去すれば、δ = ε/( ε+1) となる。
以上より、所与の ε に対して
0 < δ < ε/( ε+1) の範囲に δ をとれば [1] が満たされる。
もちろん、このような思考過程は伏せて
「δ < ε/( ε+1) とすればよい。」だけでも証明は完成する。
No.3
- 回答日時:
任意のε>0
に対して
|(1/x)-1|<ε
を示すためには
|(1/x)-1|
=|(1/x)-(x/x)|
=|(1-x)/x|
=|1-x|/|x|
=|x-1|/|x|
<ε
|x-1|/|x|<ε
を示せばよい
ここで仮に
|x-1|<1/2…(1)
とすると
1-|x|≦|x-1|<1/2
1-|x|<1/2
1/2<|x|
1/|x|<2
↓両辺に|x-1|をかけると
|x-1|/|x|≦2|x-1|
となるから
2|x-1|<εを示せば|x-1|/|x|<εを示した事になるから
|x-1|<ε/2
を示せばよい
これと(1)から
δ=min(1/2,ε/2)
とすればよい事がわかる
任意のε>0
に対して
δ=min(1/2,ε/2)
とすると
|x-1|<δ
ならば
1-|x|<|x-1|<δ≦1/2
1-|x|<1/2
1/2<|x|
1/|x|<2
|(1/x)-1|=|x-1|/|x|<2δ≦2ε/2=ε
ご返信ありがとうございます。補足だとお気づきにならない場合があるので、お礼という形で再度質問させていただきたいです。
(1)のところで|x-1|<1/2としておりますが、
これは、例えば「|x-1|<1/4」などのように置いても大丈夫ですか?
もしそしたら、δ=min{1/4,3ε/4} というようになると思うのですが…
ご返信をいただけたら幸いです。
No.2
- 回答日時:
なにをどう「考え」て「わからな」かったんだ?
任意の正数 ε に対して正数 δ が存在し |x - 1| < δ のとき |1/x - 1| < ε
といいたいわけだ.
ここから逆算して, ε に対して δ を求めればいい.
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 債券・証券 外貨建てMMFの質問です 1 2023/08/05 11:28
- 物理学 至急お願いします。高1力学です。 添付写真の問題で、(d)まで解きすすめたのですが最後方程式を解くだ 1 2022/08/01 23:07
- 健康保険 任意継続被保険者申請書を提出するのに1時間30分かかる場所の為、郵送で送りたいと思うのですが喪失証明 1 2023/05/19 23:05
- ビジネスマナー・ビジネス文書 求人の電話の受け答え方 1 2023/07/23 18:21
- Excel(エクセル) エクセルについて教えてください。 1 2023/03/03 08:38
- 数学 実数同士の全単射写像について 2 2023/07/05 17:12
- 画像編集・動画編集・音楽編集 AfterEffectでのシャターの挙動がおかしい 1 2023/05/07 00:38
- 物理学 連成振動子の基準振動を求めたい 3 2022/07/31 11:44
- 数学 三角関数の極限を「はさみうちの原理」で考える時の不等号について 1 2022/07/22 01:13
- 筋トレ・加圧トレーニング 筋トレに関する質問です。 ①朝、プロテインだけ飲んで、空腹状態での筋トレ、 ②昼ご飯(軽く)食べて1 3 2023/01/04 17:04
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
幽霊が存在していないことを証...
-
存在しない事を証明するのは悪...
-
証明終了の記号。
-
(4^n)-1が3の倍数であることの...
-
3,4,7,8を使って10を作る
-
数学の「証明」のときなどの接...
-
数学の証明問題で、「証明終了」...
-
中3数学 2つの続いた整数では、...
-
log(x) が連続 であることの証明
-
夫が亡くなった後の義理家族と...
-
ゴールドバッハ予想について考...
-
群の生成についての問題
-
√2×√3=√6となることを証明せよ...
-
元夫が彼女の存在を隠す理由
-
婿養子です、妻と離婚して妻の...
-
無理数って二乗しても有理数に...
-
ブール環
-
よって・ゆえに・したがって・∴...
-
liman=a(n→∞)、limbn=b(n→∞)な...
-
はさみうちの定理はなにでは挟...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
数学の「証明」のときなどの接...
-
3,4,7,8を使って10を作る
-
証明終了の記号。
-
婿養子に入ったのに出て行けと...
-
数学の証明問題で、「証明終了」...
-
「証明証」と「証明書」はどう...
-
素数の積に1を加算すると素数で...
-
夫が亡くなった後の義理家族と...
-
よって・ゆえに・したがって・∴...
-
学割定期を親に買ってきてもら...
-
(4^n)-1が3の倍数であることの...
-
再婚、奨学金
-
素数の性質
-
なぜ独身だと養子が持てないの...
-
元夫が彼女の存在を隠す理由
-
成人した後両親が離婚し別の人...
-
大学の給付型奨学金について 現...
-
直角三角形の性質
-
通学証明書の契印とは
-
無理数って二乗しても有理数に...
おすすめ情報
考えたのですが、わからないのでもし正しい証明がわかる方がいれば、教えてください。
ご返信ありがとうございます。
一つ質問なのですが、(1)のところで|x-1|<1/2としておりますが、
これは、例えば「|x-1|<1/4」などのように置いても大丈夫ですか?
もしそしたら、δ=min{1/4,3ε/4} というようになると思うのですが…
ご返信をいただけたら幸いです。