多項式 x^2+x+3をZ_5 = {0,1,2,3,4}上で因数分解せよ。 群論の問題なのですが、

多項式 x^2+x+3をZ_5 = {0,1,2,3,4}上で因数分解せよ。

群論の問題なのですが、解き方(途中式)と答えを解いてくださるかたどうかよろしくお願いしますm(__)m

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/06/26 10:48

x^2+x+3=(x+a)(x+b)(mod5)

x^2+x+3=x^2+(a+b)x+ab(mod5)

a+b=1(mod5)
ab=3(mod5)

a=0と仮定するとab=0となってab=3に矛盾するからa≠0
a=1と仮定するとa+b=1+b=1,b=0,ab=0となってab=3に矛盾するからa≠1
a=3と仮定するとab=3b=3,b=1,a+b=3+1=4となってa+b=1に矛盾するからa≠3

a=2とすると
a+b=2+b=1
b=-1=4
ab=-2=3
∴
x^2+x+3=(x+2)(x+4)

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/06/26 15:02

二次式の因数は一次式だけ考えればいいから、

因数定理を使って確認すればいい。
x ≡ 0 mod 5 のとき x^2+x+3 = 3 ≡ 3 mod 5.
x ≡ 1 mod 5 のとき x^2+x+3 = 5 ≡ 0 mod 5.
x ≡ 2 mod 5 のとき x^2+x+3 = 9 ≡ 4 mod 5.
x ≡ 3 mod 5 のとき x^2+x+3 = 15 ≡ 0 mod 5.
x ≡ 4 mod 5 のとき x^2+x+3 = 23 ≡ 3 mod 5.
Z5[x] において x^2 + x + 3 を割り切る一次式は
x - 1 と x - 3 だけである。
検算してみると、(x - 1)(x - 3) = x^2 - 4x + 3 ≡ x^2 + x + 3.