【数学IIB/図形と方程式】
Q.2つの円 x²+y²=1,x²+y²-6x-4y+9=0 の交点
を通る直線の方程式を求めよ.
──────────────────────────
x²+y²=1・・・①
x²+y²-6x-4y+9=0 ・・・②
とすると、②は
(x-3)²+(y-2)²=4
となり、①の半径をr₁、②の半径をr₂、2つの円の中心間
距離をdとすると、
r₂-r₁=1
r₁+r₂=3
d=√13
となり、
r₂-r₁ ≦ d ≦ r₁+r₂
が成り立たず、交点は存在しません。
ですが、
k(x²+y²-1)+l(x²+y²-6x-4y+9)=0 (k,l∈R)
として交点を通る直線の方程式を導くと
6x+4y-10=0 (y=-3/2x+5/2)
が求まります。
交点がないので問の方程式は存在しない気がするのです
が、この束を用いて導かれた方程式は一体何を表してい
るのでしょうか。
グラフにしてみるとなんとなく2つの円の間を通ってい
るようには見えますが。。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
①②の中心を結ぶ線分に直交する直線で、
両中心から交点までの距離の二乗の差が
①②の半径の二乗の差に等しいようなもの
を表していますね。 このことは、
k (x²+y²-1) + l (x²+y²-6x-4y+9) = 0 が
直線の式になるのが k = -l のときであることから
x²+y²-1 = x²+y²-6x-4y+9 = m {m∈R} と変形して、
x² + y² = √(1 + m)²,
(x-3)² + (y-2)² = √(4 + m)² の
両円の半径を表す式から m を消去すれば導けます。
No.2
- 回答日時:
基本的に(共有点をもつ)2曲線の交点を通る曲線が
kf(x,y)+Lg(x,y)=0…①です
f(x,y)=0…②とg(x,y)=0…③に共通な解(共有点の座標)(x1,y1)を代入したときに
kf(x1,y1)=0
Lg(x1,y1)=0だから
kf(x1,y1)+Lg(x1,y1)=0もなりたつということで
①は2曲線1②と③の交点を通る曲線であると言えるのです
(k=0、L=1なら①は曲線g(x,y)=0そのものを表し、k=1,L=0ならf(x,y)=0を表し、それ以外なら2曲線の交点を通る曲線となります
ご質問のケースでもし2円が交点を持つなら k=-1,L=1で2円の交点を通る直線となります)
さて、ご質問の2円では共有点を持ちませんから
f(x,y)を0にさせる座標 つまり 原点中心の円周上の任意の点を(x,y)に代入したとき
g(x,y) つまり(3,2)中心の円の式になじみません
具体的には 原点中心の円の上の座標(0,1)を
x²+y²-6x-4y+9=0に代入しても 等式が成り立ちません
同様に、原点中心の円の他の座標のいずれを代入しても
x²+y²-6x-4y+9=0が成り立ちません
共有点を持つ場合は、kf(x1,y1)+Lg(x1,y1)=0が成り立つから kf(x,y)+Lg(x,y)=0は共有点(x1,y1)を通る曲線だと言えましたが
k(x²+y²-1)+l(x²+y²-6x-4y+9)=0 この等式を成り立たせる(x,y)は存在しないのだから
これは2円の交点を表す曲線ではないということになりますので
ここから(強引に)求まる直線にあまり意味はなさそうです。
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