部分積分の問題でどこから手をつけていいかわかりません

部分積分でどう手を付けたらよいかわかりません
１番目からわかりません

f(x) =∫【 ０→ｘ】 (1−t＾2)e＾(−t＾2)dt (x ∈R).
このとき
(1) lim【x→+∞】f(x), lim【x→−∞】f(x) を求めよ.
(2) y = f(x)の極値と変曲点を求めよ

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/08/04 23:39

「部分積分で」って自分で書いてるんだから, とりあえずやってみたら?

No.2 ベストアンサー 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/08/05 00:29

{e^(-t^2)}'=(-2t)e^(-t^2)より、

f(x)=∫[0,x] (1-t^2)e^(-t^2) dt
=∫[0,x] e^(-t^2) dt - ∫[0→x] (t^2)e^(-t^2) dt
=∫[0,x] e^(-t^2) dt - ∫[0→x] (-t/2)(-2t)e^(-t^2) dt
=∫[0,x] e^(-t^2) dt + ∫[0→x] (t/2)(-2t)e^(-t^2) dt

I=∫[0→x] e^(-t^2) dtとすると、

=I+(t/2)e^(-t^2)[0,x]-(1/2)∫[0→x] e^(-t^2) dt
=I+(x/2)e^(-x^2)-(1/2)I
=(1/2)I+(x/2)e^(-x^2)

Iはガウスの誤差関数を√π/2倍したものになるので、ガウスの誤差関数をerf(x)=(2/√π)∫[0,x]e^(-t^2) dtとすると、
I=(√π/2)erf(x)

f(x)=(1/2)(√π/2)erf(x)+(x/2)e^(-x^2)
=(√π/4)erf(x)+(x/2)e^(-x^2)

lim[x→∞]erf(x)=1, lim[x→-∞]erf(x)=-1 より、

lim[x→∞] (√π/4)erf(x)+(x/2)e^(-x^2)
=√π/4 + 0
=√π/4

lim[x→-∞] (√π/4)erf(x)+(x/2)e^(-x^2)
=-√π/4 + 0
=-√π/4

与式から、

f'(x)=(1-x^2)e^(-x^2)
f''(x)=-2xe^(-x^2) - 2x(1-x^2)e^(-x^2)
=(2x^3 - 4x)e^(-x^2)
=2x(x^2 - 2)e^(-x^2)

極値はf'(x)=0より、x=±1
f'(-2)=-3/e^4<0
f'(-1)=0
f'(0)=1>0
f'(1)=0
f'(2)=-3/e^4<0

x=-1のとき、極小値(√π/4)erf(-1)-(1/2)/e
x=1のとき、極大値(√π/4)erf(1)+(1/2)/e

変曲点はf''(x)=0よりx=-√2, 0, √2が変曲点の候補になる。
x=-√2, 0, √2のいずれもその前後で符号が変化しているので、変曲点はx=-√2, 0, √2