幾何学の単位法ベクトルを解きたいのですが、計算がどこで間違えているのかわかりません！ r(θ,φ)

幾何学の単位法ベクトルを解きたいのですが、計算がどこで間違えているのかわかりません！
r(θ,φ) = (rsinθcosφ,rsinθsinφ,rcosθ)
r_θ=∂r/∂θをr_1,r_φ=∂r/∂φをr_2とする。
r_1(θ,φ)=(rcosθcosφ,rcosθsinφ,-rsinθ)
r_2(θ,φ)=(-rsinθsinφ,rsinθcosφ,0)
r_1×r_2=(r^2sin^2θcosφ,r^2sin^2θsinφ,r^2sinθcosθ)
| r_1×r_2 | = r^2sinθ(sinθ+cosθ)
と計算しました。
しかし、問題の回答によると、
n=(sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ)
II = -rdθ^2-rsin^2θdφ^2
となり、私が計算したものだと答えのnにsinθ+cosθが邪魔でどうしても答え通りになりません。
どこが間違えているのか分からないのでどなたかご確認してくださると助かります。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/08/06 12:11

計算以前に、

r(θ,φ) = (r sinθcosφ, r sinθsinφ, r cosθ)
の両辺で違うもんに同じ「 r 」を使てんのが気になる。
本では、フォントを変えてんのやろけど。

検算してみた。
r_1×r_2 = (r^2 sin^2θcosφ, r^2 sin^2θsinφ, r^2 sinθcosθ)
までは合うとる。
r_1×r_2 = r^2 sinθ (sinθcosφ, sinθsinφ, cosθ)
やから
| r_1×r_2 | = r^2 sinθ √{ (sinθcosφ)^2 + (sinθsinφ)^2 + (cosθ)2 }
= r^2 sinθ √{ (sinθ)^2 + (cosθ)2 }
= r^2 sinθ √1
= r^2 sinθ.

いや、ほんまにめんどな計算で、目チラチラするな。