高校数学 数列

Ｓ＝１+４ｘ+7ｘ^２+１０ｘ^３+……+（３ｎ-２）ｘ^ｎ-１の解き方を教えてください

１+３×(１-ｘ）/１-ｘ－(3－2)ｘ^ｎにするところまではできたのですがその後の解をだす方法がわかりません

問題集の解は
ｘ＝１のとき、Ｓ＝1/２ｎ（３ｎ-１）
ｘ≠1のとき、Ｓ＝１+２ｘ-（３ｎ+１）ｘ^ｎ+（３ｎ-２）ｘ^ｎ+１/（１-ｘ）^２
でした

質問者からの補足コメント

• ごめんなさい
  
  １+３×(１-ｘ）/１-ｘ－(3－2)ｘ^ｎ
  
  ではなく、
  
  １+３ｘ(１-ｘ^ｎ-１）/１-ｘ－(3ｎ－2)ｘ^ｎ
  
  でした

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/08/13 17:19

• すみません
  最後の　1-x≠０(⇔x≠１）として両辺(1-x)で割り算すると模範解答の形になる
  というところがよくわかりませんでした
  割り算しても分母の１-ｘが2乗になってくれないです

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/08/13 18:44

No.3 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/08/13 21:07

#2の途中式を省くと

(1-ｘ)S＝{1+2x-{(1+３ｎ)x^n}+(3n-2)x^[ｎ+1]}/(1-x)
⇔(1-ｘ)S＝{1+2x-{(1+３ｎ)x^n}+(3n-2)x^[ｎ+1]}・{1/(1-x)}
この式の両辺を1/(1-x)倍　(すなわち(1-x)で割り算)すると
S={1+2x-{(1+３ｎ)x^n}+(3n-2)x^[ｎ+1]}・{1/(1-x)}・{1/(1-x)}
＝{1+2x-{(1+３ｎ)x^n}+(3n-2)x^[ｎ+1]}・{1/(1-x)}²
＝[1+2x-{(1+３ｎ)x^n}+(3n-2)x^[ｎ+1]/(1-x)}²]

この回答へのお礼

Ｓの隣に（１-ｘ）があったのを完全に忘れてました...
ありがとうございます

お礼日時：2020/08/13 21:25

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/08/13 17:41

Ｓ＝１+４ｘ+7ｘ^２+１０ｘ^３+……+（３ｎ-２）ｘ^ｎ-１

x=1のときは
S=1+4+7+10+・・・+(3n-2)で　初項１、末項3n-2 項数nの等差数列だから
等差数列の和の公式利用で
S=(1/2)n{1+(3n-2)}=(1/2)n(3n-1)

x≠１のとき　公差もどきのxを見て
　Ｓ＝１+４ｘ+7ｘ^２+１０ｘ^３+……+（３ｎ-２）ｘ^ｎ-１　　　　これの両辺をx倍
XS=　　　X　＋４ｘ²　＋　７ｘ³＋・・・+（３ｎ-5）ｘ^ｎ-１+(３ｎ-２）ｘ^ｎ
辺々引き算して
(1-ｘ)S=1+3(x+x²＋x³+・・・+x^n-1)-(３ｎ-２）ｘ^ｎ
x+x²＋x³+・・・+x^n-1部分は、初項ｘ、公比ｘ、項数n-1の等比数列の和なんで　公式により
x+x²＋x³+・・・+x^n-1=x(1-x^[n-1])/(1-x)
ゆえに
(1-ｘ)S=1+3(x+x²＋x³+・・・+x^n-1)-(３ｎ-２）ｘ^ｎ
=1+{3x(1-x^[n-1])/(1-x)}-{(３ｎ-２）ｘ^ｎ}
={(1-x)+3x-3x^n-(３ｎ-２）(1-x)ｘ^ｎ}/(1-x)　←←←通分
={1+2x-3x^n-(３ｎ-3nx-2+2x）ｘ^ｎ}/(1-x)
={1+2x-(3+３ｎ-3nx-2+2x）ｘ^ｎ}/(1-x)　←←← -3x^n-(３ｎ-3nx-2+2x）ｘ^ｎ部分をx^nでくくりだした
={1+2x-(1+３ｎ-3nx+2x）ｘ^ｎ}/(1-x)　
＝[1+2x-{(1+３ｎ)x^n}+(3n-2)x^[ｎ+1]}/(1-x)　

1-x=0のとき　０で割り算はできないから この式の両辺を1-xで割り算してはいけない・・・出だしに戻って等差数列の和となる
1-x≠０(⇔x≠１）として両辺(1-x)で割り算すると模範解答の形になる

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/08/13 17:10

１+３×(１-ｘ）/１-ｘ－(3－2)ｘ^ｎ　、これあっていますか？