変数分離法で積分するときの積分変数について質問です。

変数分離法で積分するときの積分変数について質問です。
例えば、ｄｙ/ｄｘ＝ｙという式を変数分離法で解く時、両辺にｄｘをかけて、両辺をｙで割って、1/ｙｄｙ=ｄｘという形にして両辺を積分します。このとき、教科書を見ると「∫1/ｙｄｙ=∫ｄｘ＋Ｃ」となっており、積分定数がついています。
積分の定義は「∫ｆ（ｘ）＝Ｆ（ｘ）＋Ｃ」のように、積分を行ったものに積分定数がつくと習いました。しかし、変数分離の式「∫1/ｙｄｙ=∫ｄｘ＋Ｃ」では積分を行う前に積分定数がついています。これはなぜなのでしょうか？どなたかわかる方がいらっしゃいましたら教えてください。

No.3 ベストアンサー 回答者： yucky12 回答日時： 2010/06/28 01:18

C出現の理由をこのように解釈してはいかがでしょうか。

z = ∫(1/y)dyとおく。
zをxで微分すると、
dz/dx = (1/y)(dy/dx) = 1
両辺をxで積分すると、
z + C = ∫1dx
Cを別のものに置き換えると
z = ∫1dx + C
つまり、
∫(1/y)dy = ∫1dx + C

逆にわかりにくかったらすいません…(汗
結局、両辺インテグラルをとるときはなんか定数つけたほうがいいんですね。

この回答への補足

回答ありがとうございます！確かにｘで微分して積分すると積分定数が出てきますね。ただ、なぜｘで微分して積分するという操作を行うのかが分かりません。そのような操作をしないと積分定数は出てこないのでしょうか？そのような操作が必要なのでしょうか？！

補足日時：2010/07/03 17:19

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2010/06/27 22:30

∫(1/y)dy も、∫dx も、不定積分だから、

その式の中に未定の積分定数を含んでいる。
従って、ウマい積分定数をとれば成立する
…という意味で書くのなら、
∫(1/y)dy=∫dx であって、+C は要らない。
∫(1/y)dy と ∫dx の両方に任意の積分定数
を割り当てても整理する…ように書くのなら、
∫(1/y)dy=∫dx+C と書くことになる。
どっちの立場で式を書いているのか？ということ。

この回答への補足

「∫(1/y)dy と ∫dx の両方に任意の積分定数を割り当てても整理する…ように書く」というのはどういうことなのでしょうか？！

補足日時：2010/07/03 17:23

No.1 回答者： noname#113983 回答日時： 2010/06/27 18:41

結果的には「∫1/ｙｄｙ=∫ｄｘ＋Ｃ」でやっても同じになるけど、貴方の教科書途中式というか、

全然きっちりしてないね。教科書にはどういった途中式で書いてあるんだ？
あんまり貴方の教科書あてにしないほうがいいかも。ちゃんとした参考書買った方がいいと思う。そもそもｄｙ/ｄｘ＝ｙ　が成立しているならばまず、(1/y)(dy/dx)=1がいえるので
両辺にxで積分すると∫(1/y)(dy/dx)dx=∫ｄｘ でしょう。
そして∫(1/y)(dy/dx)dx =∫1/ｙｄｙ なので∫1/ｙｄｙ=∫ｄｘ である。