数学Ⅲの体積の問題

数学Ⅲの体積の問題の解き方を教えてください。xy平面上に曲線C:y=x²がある。C上の2点P、QがPQ=2を満たしながら動くとき、PQの中点の軌跡をDとする。(D:y=x²+1/(4x²+1)) C、D、y軸及び直線x=1/2で囲まれた部分をx軸まわりに1回転させてできる立体の体積を求めるとどうなりますか？

No.1 回答者： springside 回答日時： 2020/08/23 16:20

積分するだけじゃないのかな。

被積分関数は、π{(x²+1/(4x²+1)}²-π(x²)²となって、積分区間は0から1/2まで。

途中、x=(1/2)tanθと置く置換積分を使う。
これは、分母に4x²+1=4{x²+(1/4)}が登場するから、「分母にx²+a²が現れたらx=a･tanθと置く」という定石を使ったもの。

計算結果は、(3/8)πになる。