数学の大学入試問題です！！ (1)sin 2/7π+sin4/7π+sin8/7πの値を教えてくださ

数学の大学入試問題です！！
(1)sin 2/7π+sin4/7π+sin8/7πの値を教えてください。ちなみに誘導もなく、そのままの問題です。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/09/03 08:23

あ、ごめん。

凡ミス。

t = x, y が t^2 + t + 2 = 0 の解だと判るので、
x, y = (-1 ± i√7)/2 です。

よって x = (-1 + i√7)/2 であり、
a = Im x = √7/2.

この回答へのお礼

解説まで付けていただいてありがとうございます。なんとか理解できました！！

お礼日時：2020/09/03 09:34

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/09/03 08:17

z = e^(i(2/7)π),

x = z + z^2 + z^4,
y = z^3 + z^5 + z^6.
と置いてみましょう。
x = e^(i(2/7)π) + e^(i(4/7)π) + e^(i(8/7)π)
　= { cos((2/7)π) + cos((4/7)π) + cos((8/7)π) } + i { sin((2/7)π) + sin((4/7)π) + sin((8/7)π) }
なので、問題の値 a は x の虚部です。

z^7 = 1 を使って、
x + y = (z + z^2 + z^4) + (z^3 + z^5 + z^6)
　　= z^6 + z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z
　　= (z^7 - 1)/(z - 1) - 1
　　= -1,
xy = (z + z^2 + z^4)(z^3 + z^5 + z^6)
　= z^10 + z^9 + z^8 + 3z^7 + z^6 + z^5 + z^4
　= z^3 + z^2 + z + 3 + z^6 + z^5 + z^4
　= (x + y) + 3
　= 2.
と計算できます。
二次方程式の解と係数の関係から
t = x, y が t^2 + t + 2 = 0 の解だと判るので、
x, y = (-1 ± i√7)/4 です。

あとは、 a が正か負かだけですね。
a = sin((2/7)π) + sin((4/7)π) + sin((8/7)π)
　= sin((2/7)π) + sin((4/7)π) - sin((1/7)π)
0 < (1/7)π < (2/7)π < (1/2)π より sin((1/7)π) < sin((2/7)π),
0 < (4/7)π < π より sin((4/7)π) > 0
なので、 a > 0 です。
よって x = (-1 + i√7)/4 であり、
a = Im x = √7/4.

No.1 回答者： konjii 回答日時： 2020/09/03 07:35

√7/2