2変数関数f(x,y)=e^-1/(x^2+y^2)は点(0,0)で全微分可能ですか？ どなたか途中

2変数関数f(x,y)=e^-1/(x^2+y^2)は点(0,0)で全微分可能ですか？
どなたか途中式を含めて教えてください！

質問者からの補足コメント

• 分かりにくてすみません。
  f(x,y)=e^(-1/(x^2+y^2))です。

    補足日時：2020/09/25 19:59

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/09/25 19:33

ひょっとして、

f(x,y) = (e^-1)/(x^2+y^2) じゃなくて
f(x,y) = e^( -1/(x^2+y^2) ) って話？

それなら、 f(0,0) は可除特異点で、
f(0,0) = lim[(x,y)→(0,0)] f(x,y) = 0 で再定義すれば
∇f(0,0) = (0,0) になる。 全微分可能。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/09/25 19:40

f(0,0) が未定義なので 微分不可能

f(0,0)=0
f(x,y)=e^-1/(x^2+y^2) ((x,y)≠(0,0))
と定義しても

f(x,y)=e^-1/(x^2+y^2)={e^(-1)}/(x^2+y^2)
ならば
lim_{x→0,y→0}{e^(-1)}/(x^2+y^2)=∞
だから
不連続微分不可能

f(0,0)を定義する事を求めます

f(x,y)=e^-1/(x^2+y^2)
が
f(x,y)={e^(-1)}/(x^2+y^2)
と
f(x,y)=e^{-1/(x^2+y^2)}
の
どちらなのか明確にする事を求めます

No.1 回答者： syotao 回答日時： 2020/09/25 16:50

点(0,0)で全微分可能ならば同じ点で連続だけど

この関数は点(0,0)で決まった極限値がないから
全微分不可能。