至急！！ 高1の者です。 数学Iについて質問です。 以下の問題がどうしても分からなくて困っています。

至急！！
高1の者です。
数学Iについて質問です。
以下の問題がどうしても分からなくて困っています。
数学に詳しい方いましたら、回答お願いします。
1.二次方程式x^2−2mx−m+2＝0が次のような実数解を持つように、定数mの値の範囲を求めよ。
(1) −1より大きく2より小さい異なる2つの解。
この問題はグラフにする事はできたのですが、
解説を見ても何故、Dの判別式を使うのか分かりません。
そして、x＝mが－1＜x＜2の部分にあり
－1＜m＜2となる理由が分かりません。
また、x＝－b/2aの軸はどうして使わないのでしょうか？


2. aを定数とする時、次の2次不等式を解け。
(1) x^2－(a+3)x+3a≦0 (2)x^2－ax－2a^2＞0
このふたつの問題で、因数分解まではできるのですが、解説を見るとそこから場合分けをするとあるのですが、場合分けのやり方について全然分かりません。
どう場合分けして答えを出すのでしょうか？


3. aを定数とするとき
2次不等式x^2－5ax+4a^2＜0を解け。
この問題も同様に因数分解まではできるのですが
そこから先の場合分けをどのようにすればいいのかが分かりません。

4. 2次不等式x^2－5x+6＜0を満たす全てのxが、xについての2次不等式x^2－5ax+4a^2＜0を満たすように定数aの値の範囲を求めよ。

x^2－5x+6＜0を因数分解して並べて
2＜x＜3となりこれがx^2－5ax+4a^2＜0の解にふぐれれば良い。という所までは分かるのですがそこからの場合分けがよくわからないです。


以上になります。
解説お願いします。

No.1 回答者： Dr-Field 回答日時： 2020/10/08 19:28

１．(1)

f(x)＝x^2－2mx－m＋2＝(x－m)^2－m^2－m＋2　とおく。
f(x)のグラフは(m、－m^2－m＋2)を頂点として、下に凸なグラフである。
つまり、軸は x＝m なのです(※)。だから、－1＜m＜2という条件が出てきますね。　・・・①
そして、下に凸だから－m^2－m＋2＜0、f(－1)＞0、f(2)＞0の３つの条件を満たすmを求めることになります。
－m^2－m＋2＜0 より、m^2＋m－2＝(m＋2)(m－1)＞0 → m＜－2、1＜m　・・・②
f(-1)＝1＋2m－m＋2＝m＋3＞0 → －3＜m　・・・③
f(2)＝4－4m－m＋2＝6－5m＞0 → m＜6/5　・・・④
①～④の条件をすべて満たすmの範囲は 1＜m＜6/5
答え：1＜m＜6/5
※軸はx＝－b/2aですが、この場合、a＝1、b＝－2mとなるので、x＝mであっていますね。


２．
(1) f(x)＝x^2－(a+3)x+3a＝(x－a)(x－3)とおくと、このグラフはx＝3とaでx軸と交わる。そして、下に凸である。
なので、aは3よりも小さいのか、3ちょうどなのか、それとも3よりもおおきいのか、どこにあるかで場合分けをすることになる。
この場合、わかりやすくするために a＜3とa＝3と3＜a の3通りに分けましたが、a＝3をどちらに含めることが多いですね。つまり、a≦3か3＜a とするか、または a＜3か3≦aか。
答え：a＜3のとき、a≦x≦3
3≦aのとき、3≦x≦a

(2)f(x)＝x^2－ax－2a^2＝(x－2a)(x＋a)とおくと、このグラフはx＝2a、－aでx軸と交わる。そして、下に凸である。
で、2aと－a、どっちが大きいか？で場合分けですね。
(i)0＜aの場合、－a＜2a なので、f(x)＞0となる範囲は x＜－a、2a＜x ですね。
(ii)a＝0の場合、f(x)＝x^2≧0となるので、そのようなxは存在しない。
(iii)a＜0の場合、2a＜－a なので、f(x)＞0となる範囲は x＜2a、－a＜x ですね。

答え：
(i) 0＜aの場合、x＜－a、2a＜x
(ii) a＝0の場合、解なし
(iii) a＜0の場合、x＜2a、－a＜x


３．f(x)＝x^2－5ax＋4a^2＝(x－a)(x－4a)＜0　もまったく同様な考えでよい。
答え：
(i) 0＜aの場合、a＜x＜4a
(ii) a＝0の場合、解なし
(iii) a＜0の場合、4a＜x＜a


４．
x^2－5x+6＜0を満たす全てのxとは、2＜x＜3である。
f(x)＝x^2－5ax＋4a^2＝(x－4a)(x－a)＜0
３．より、
(i) 0＜aの場合、a＜x＜4a、この範囲内に2＜x＜3が含まれていればよい。
だから、a≦2 かつ 3≦4a となり(→数直線を書いてみると理解が簡単だと思う)、これを満たすaの範囲は 3/4≦a≦2
(ii) a＜0の場合、a＜x＜4a、これは数直線では負の範囲になり、2＜x＜3を含むことができないので不適格。
答え：3/4≦a≦2