偏微分方程式について解き方を教えていただけないでしょうか。

偏微分方程式について、解き方を教えてください。

u_tt （ｔの二階微分）= 4 u_xx　（ｘの二階微分） +e^t sin (3 pi x)

という式が、x∈[0,1]のとき、

境界条件が、

u(0,t)=u(1,t)=0

初期条件が
u(x,0)=0 と、u_t(x,0)（ｔの一階微分）=sin(5 pi x)

という問題を解いております。

変数分離法をしようしたとおもったのですが、うまく答えがでませんでした。
どうか、解き方をおしえていただけないでしょうか。

No.1 回答者： eatern27 回答日時： 2020/10/24 12:09

細かい計算はしてないので、検算はご自身でお願いします。

普通の1次元の波動方程式の類推から言うと
ξ=x+2t
ζ=x-2t
と変数変換すれば微分方程式が
u_ξζ= ξとζの関数
の形になってξとζで両辺を積分すれば
u=積分の結果+F(ξ)+G(ζ)
の形で求まるはずです。F,Gは任意の関数です。

この積分が解析的に計算できるのであれば(多分計算できるので)、あとは境界条件と初期条件を満たすようにF,Gを求めるだけになります。

この回答へのお礼

ご回答、本当にありがとうございます。また、計算の仕方を教えて頂きありがっとうございます。自分で解いてみたのですが、違うアプローチでしたので、もう一度やり直そうと思います。ありがとうございます。

もう一つだけ、すみません
ξ=x+2t
ζ=x-2t
tについて、２tとなる理由を教えて頂けないでしょうか、

お礼日時：2020/10/24 12:24

No.2 回答者： eatern27 回答日時： 2020/10/24 13:16

>自分で解いてみたのですが、違うアプローチでしたので、

すいません、ちゃんと見てませんでしたが、変数分離法でも解けるのかもしれませんが指数関数と三角関数の所の扱いが面倒そうではありますね。

>２tとなる理由を教えて頂けないでしょうか、
ここはただの変数変換なので2tになる(他の値ではダメ)というような話ではありません。そうすると式が単純になるからそうしたというだけの話です。

ご自身でこういう計算をした事がないのならx±vtで変数変換したらどうなるかくらいは計算してみるといいかなと思います。一般にはu_ξξ、u_ξζ、u_ζζの全部が登場してしまうはずですが、v=2だとu_ξζの項だけしか残らない(するとξ、ζで順番に積分すれば微分方程式が解ける)のが確認できるはずです。

ダランベールの式(解,方法)などで検索すれば色々見つかると思います。

空間が1次元の時にしか使えない方法ですが、
F(ξ)=F(x+2t):-x方向に速さ2で進行する波、
G(ζ)=G(x-2t):+x方向に速さ2で進行する波
という任意波形(任意関数)の波の重ね合わせで解が表されているのは物理的には分かりやすい形です。