複素関数論、テイラー展開と収束半径

テイラーの定理（画像）で解析関数ｆ（ｚ）がΩに含まれる最大の半径Ｒの円内でｆ（ｚ）＝ｆ（ｚ０）＋、、、と展開されることは証明からも納得しましたが、補足事項として、「テイラー級数の収束半径はＲ以上になりうるが、Ｒより大きなＲ‘の円とΩの共通部分においてｆ（ｚ）とその右辺の級数が一致するわけではない」との趣旨の記述があります。（画像） （疑問）右辺のべき級数が（絶対）収束することと、テイラー展開可能（左辺に一致する）というのは別なのでしょうか？（例を調べましたが、見つからなかったので、これらが別になる例も教えていただければ助かります）

質問者からの補足コメント

• 回答をくださってありがとうございます。解析接続を復習してから考え直したいと思います。

    補足日時：2020/10/25 23:02

No.5 回答者： syotao 回答日時： 2020/10/25 22:14

あー、ごめんなさい。

ぼくが誤っていました。
全くの認識不足お恥ずかしい限りです。
√zの一価の枝としてたとえば正の実軸以外で解析的になる枝も
とることができるのは事実です。
したがって、No.2さんの上げているテーラー展開の収束半径は
展開の中心から原点までとすることができるので
No.2さんのコメントは全くその通りということになります。
ここにおわびかたがた、改めてNo.3のレスを取り消します。

No.4 回答者： eatern27 回答日時： 2020/10/25 20:19

√zのテイラー展開に一致するので、特異点であるz=0までの距離が収束半径のはず、というくらいにしか考えてませんでしたが、本当に収束半径がεになってます？？？f(z)のテーラー展開の収束半径が実軸負の近くで実軸を超えないのなら、リーマン面のようなものを導入したとしても解析接続で普通の意味の√zに拡張する事も出来なくなりますが。

。。

まぁ、細かい計算まではしてないので、例としてとしては不適切な所があるのかもしれませんが、
√zやlogのような多価関数になるものを考えて、適当な点Ａ(∈Ω)から、特異点の周りをぐるっと回って戻ってＡ'に戻る経路を考えて、Ａ'に着く直前の点Bでテーラー展開する事を考えれば良いはずです。(A'はAと同一の点を考えていますが、特異点の周りを回る前後を区別するために便宜上'をつけています)

A'が収束円内にあるようにBを選んでおけば、テイラー展開にz=A(=A')を代入した結果はf(A)とは異なっているはず。


一致の定理云々と言っている時はAとA'が別の点だと思うような何か(リーマン面など)をしているはずです。が、ここではそんな事は考えてなくて、同じ点だと思った時の話をしているのだと思いますがどうでしょう？

No.3 回答者： syotao 回答日時： 2020/10/25 15:07

No.2さんの上げている例は逆にそのテイラー展開の収束半径の

限界をあたえています。
つまり、この展開の収束半径はεです。
負軸を超えてまで収束半径を延長できません。

No.2 回答者： eatern27 回答日時： 2020/10/25 00:33

例えば2乗してzになるもののうち実部が正のものをf(z)とすると、

zは実軸負以外では解析的ですが、
z=-1+iεの周りで展開した級数のz=-1-iεでの値はf(z)とは異なるみたいな話ですかね。

No.1 回答者： syotao 回答日時： 2020/10/24 22:05

それは定理3自体は写真の文の最後にいう保証をしていないという

意味じゃないか？
実際には
べき級数もｆ（ｚ）も解析関数やからねえ、
それらの共通の領域の一部の領域で値が一致すれば
共通の領域全体で値が一致しなければならないという定理
一致の定理があるから
ご指摘の例はないと思う。