電荷p(C/m^3)で半径aの球状に分布している時の電場は保存場であることを示せという問題が分かりま

電荷p(C/m^3)で半径aの球状に分布している時の電場は保存場であることを示せという問題が分かりません
分かる方いらっしゃったら教えて下さい

No.1 回答者： ノトーリアス 回答日時： 2020/11/04 15:17

分かるよ、

No.2 回答者： rnakamra 回答日時： 2020/11/04 16:49

球対称に分布している電荷が作る電場はガウスの法則から簡単に計算できます。

この電場が保存場であるか否かの判定はその電場の回転を計算すればよい。
回転がいたることろで零ベクトルになるかを確認すればよい。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/11/04 17:45

ガウスの法則でサクッと電場Eをだして、

rotE が常に零ベクトルか確認する。

No.4 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2020/11/04 18:54

保存場であるか否かは領域の位相構造に関わる難しい問題です。

ほぼ
どこにも触れられていないので誤解されるのは当然です。

無限直線電流Iが作る磁界の場 H=I/(2πr) のように、rot =0 であって
も、∲H・ds=I≠0 なので、成り立ちません。

ポアンカレの定理により「単連結領域において、rot F=0 なら、Fは
保存場となる」です。提示の例はこの条件を満たしています。
http://sla.cls.ihe.tohoku.ac.jp/wpsys/wp-content …

ただし、無限直線上に一定の線電荷が分布した場は、単連結領域では
ないが、保存場です。

No.5 回答者： endlessriver 回答日時： 2020/11/04 19:03

参考に、H=I/(2πr)の場合は、電流がz軸を流れている場合、y=0で

x>0 の平面で切れ込みを入れ、空間を分断し、0≦θ<2πの範囲で、
z軸を除いた領域を考えるとポテンシャルが定義でき、保存場となり
ます（ランダウ）。