A 回答 (5件)
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No.5
- 回答日時:
2200 の素因数分解が 2200 = (2^3)(5^2)(11^1) であことから、
2200 の正の約数は (2^i)(5^j)(11^k) ただし
i ∈ { 0, 1, 2, 3 },
j ∈ { 0, 1, 2 },
k ∈ { 0, 1 } なのでした。
これを使って、 2200 の正の約数の個数は、
i の選び方 4 通り,
j の選び方 3 通り,
k の選び方 2 通り の積で
4×3×2 = 24 通りあります。
2200 の正の約数のうち、2の倍数だけに限ると、
i ∈ { 1, 2, 3 } に限られるので
3×3×2 = 18 通りになります。
No.4
- 回答日時:
2200の正の約数のうち2の倍数は 2n(nは自然数)と表されますので、その2の倍数の個数はnにあてはまる自然数の個数に等しいです。
2200=2³×5²×11=2×(2²×5²×11)
これより、nにあてはまる自然数の個数は、(2²×5²×11)の正の約数の個数に等しいです。
したがって、2200の正の約数のうち2の倍数の個数は、(2²×5²×11)の約数の個数に等しいです。
No.3
- 回答日時:
2200=2³x5²x11より
2200の約数は2³x5²x11の約数ということになります
(1+2+2²+2³)x(1+5+5²)x(1+11)を展開すると
1x1x1+1x1x11+1x5x1+1x5x11+・・・+2³x5²+11となり
2³x5²x11を割り切れる数 、つまり約数がすべて登場します
(2200の約数すべての足し算になります)
その中で2の倍数であるものは
2x(1+5+5²)x(1+11)を展開したものと
2²x(1+5+5²)x(1+11)を展開したものと
2³x(1+5+5²)x(1+11)を展開したものですが
(1+5+5²)x(1+11)
は分配法則により 3x2この数字の足し算なんで
(具体的には
(1+5+5²)x(1+11)
=(1x1)+(1x11)+(5x1)+(5x11)+(5²x1)+(5²x11)
=1+11+5+55+25+275 というように6数字の足し算になりますよね)
このことから2x(1+5+5²)x(1+11)を展開したものは3x2この数字の足し算
2²x(1+5+5²)x(1+11)を展開したものも3x2この数字の足し算
2³x(1+5+5²)x(1+11)を展開したものも3x2この数字の足し算
合計で 3x3x2この数字が登場です
これら3x3x2この数字はすべて因数に2を含んでいて2でわりきれるので2の約数です
そしてその個数は全部で3x3x2個登場ということになります
すなわち、求めるべき正の約数のうち、2の倍数の個数は
3x3x2ということです
No.2
- 回答日時:
実際に2200を理解しやすい数で分解してみると良い。
2200=22×100
=(2×11)×(10×10)
=2×11×(5×2)×(5×2)
=2^3 × 5^2 × 11
となる。
2200は3種類の素数2, 5, 11の組み合わせであることが分かる。
悩むより、手を動かしたほうが答えが見えることもあるってことだね。
No.1
- 回答日時:
考え方は一緒なので、簡単な数字で説明します。
60の約数の数を求める場合。
まず、素因数分解。60=2^2×3^1×5^1
つまり、60の約数は2と3と5をかけた数字でしか作れず、
7など、他の素数をかけた数字では割り切れなくなってしまう。
とはいえ、2も3個入ってしまう(2^3=8)と、割り切れなくなってしまう。
ということは、60の約数は以下の条件を満たす必要がある。
・2は2個までOK
・3は1個までOK
・5は1個までOK
ただ、2個までOKということは0個なら?
2も3も5も0個なら、それをかけ合わせたものって1で、1はすべての数字の
約数ですよね。なのでOK。
そう考えると、60の約数は、2^a×3^b×5^cを満たす数字で、
それぞれ0≦a≦2、0≦b≦1、0≦c≦1ならばOKというわけです。
では、a、b、cは上記の不等式を満たす数字は何個?となると、
a=3、b=2、c=2ですよね。
そして求めようとする約数の個数というものは、
2 3 5
0個 0個 0個
0個 0個 1個
0個 1個 1個
(続く)
という組み合わせがどれだけあるか、ということを求めようと
しているのですからa、b、cかけあわせた3×2×2=12が
60の約数の個数というわけです。
これを1100(2を1個使っているので)だったらどうなるか
考えてみましょう。
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