虚数を含む不等式の問題

以下の問題を教えてください。
(1+√3i)^n+(1-√3i)^n＜0
を満たす自然数nはどのようなものか示しなさい。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/11/29 19:04

虚数を含む不等式の意味は、

両辺が実数であり、かつ不等号が成り立つ
って意味だからね。
解りにくかったのは、その点じゃない？

No.3 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/11/29 05:14

複素数を極形式で表し、ドモアブルの定理を利用します。

(1+√3 i)^n=[2{cos (π/3) +i sin(π/3)}]^n
=2^n{cos (nπ/3) + i sin (nπ/3)}

(1－√3 i)^n=[2{cos (-π/3) +i sin(-π/3)}]^n
=2^n{cos (-nπ/3) + i sin (-nπ/3)}
=2^n{cos (nπ/3) － i sin (nπ/3)}

これより、
(1+√3 i)^n+(1－√3 i)^n
=2^n{cos (nπ/3) + i sin (nπ/3)} + 2^n{cos (nπ/3) － i sin (nπ/3)}
=2^n・cos (nπ/3) + 2^n・cos (nπ/3)
=2・2^n・cos (nπ/3)
＝2^(n+1)・cos (nπ/3)

よって、与式は、
2^(n+1)・cos (nπ/3) <0
2^(n+1)>0 より、
cos (nπ/3) <0

したがって、
n=2,3,4,8,9,10,……
ｋを０以上の整数として、
n=6k+2, 6k+3 , 6k+4

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/11/29 04:06

1+√(3)i は偏角60°

60°x6=360°
偏角120°、180°、240°で左辺は負になるので
n=6m+2、6m+3、6m+4
mは0以上の整数。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/11/29 03:59

具体的にはこの文章のどの辺がわからないんでしょうか?

あえていうなら「√3i」が「(√3)i」なのか「√(3i)」なのか, くらいだろうけど.... でもそれは「書いた人に聞いてくれ」としかいいようがないし....