運動方程式の両辺に速度を内積する事で、力学的エネルギーの収支の式を、 回路の方程式の両辺に電流ををか

運動方程式の両辺に速度を内積する事で、力学的エネルギーの収支の式を、
回路の方程式の両辺に電流ををかけることによって、回路のエネルギー収支の式を導出する事が出来ますが、
同様にコンデンサーに誘電体を挿入するときの、
回路のエネルギー収支の式を、運動方程式や回路の方程式などから数学的に導出する方法を教えて下さい。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2020/12/03 02:54

コンデンサは長方形で、誘電体移動の方向の長さをL、真空中の静電

容量を C=ε₀S/d(S,dはCの面積と電極間距離) 、電圧をV(電源に接続
しているとして一定)、誘電体の誘電率をεとする。

すると、誘電体に加わる力は(右方向を正として)
F=(V²/2)(ε-ε₀)/(dL)=(CV²/2)(ε/ε₀-1)/L
http://www.yamamo10.jp/yamamoto/study/electromag …

となります。すると、誘電体の質量速度を m,v として、誘電体の運動
方程式は
mv'=F=(CV²/2)(ε/ε₀-1)/L
となる。

vをかけて0～Lまで積分し、v(0)=0とすると
mv²/2=(CV²/2)(ε/ε₀-1)・・・・①
となる。

ここで、(CV²/2)(ε/ε₀)は誘電体が充満したときのエネルギーだから、
運動エネルギーの増加
=(誘電体が充満したときのエネルギー)-(真空中のエネルギー)
となる。

また、①からも明らかにこのエネルギーはコンデンサのエネルギーの
増加分にもなったいる。

そこで、コンデンサの電荷は　
ΔQ=(ε/ε₀)CV-CV=(ε/ε₀-1)CV
に増加するが、電源電圧はVで一定だから(∫Vidt=V∫idt=VΔQ)、電
源は
VΔQ=CV²(ε/ε₀-1)
の仕事をする。

つまり、電源の仕事は、等分されて、誘電体の運動エネルギーと
コンデンサのエネルギーになる。


なお、注意として、引用のサイトで Fxがマイナスになっているのは
誘電体に力を加えたときなので、何もしないとき誘電体に加わる力は
その反作用となる。

この回答へのお礼

誘電体に加わる力を求めるのに、エネルギー保存の式を使っているようなのですが、その式はどのように導出されるのでしょうか？

お礼日時：2020/12/03 19:44

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2020/12/03 20:43

物体にかかる力Fによって、Δxの変位があったとき、物体がする仕事

はΔW=FΔxとなるが、これがエネルギー保存により、熱の増減がなけ
れば内部エネルギーの増加ΔUとの和が変化しない、つまり０になる。
すなわち、ΔU+ΔW=ΔU+FΔx=0 → F=-ΔU/Δx=-dU/dx となる。

すると、引用サイトの(33)(34)によって、コンデンサの（内部）エ
ネルギーが求められ、F が求められる。