答えがあってるか見てください

f(x, y) = x^2 − y＾2
z = f(x, y)が二点 (1　, 1　, 0), (1　, 0　, 1) を通るときz = f(x, y) の二点における
接平面と法線の方程式をそれぞれ求めよ
法線はそれぞれこのようになりました
(1　, 1　, 0)　Z＝ー(x－１)＝(ｘ－１)

(1　, 0　, 1) 　ｚ－1＝(ｘ-１)/-2＝ーｙ
ちなみにやりかたは公式に代入するというやり方ですが
答えが間違ってないか確認おねがいします

No.5 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/12/22 20:35

＞ ∂f(a, b)/∂y=ｘ＾２－２ｙであってますか

んなわけないでしょ。
f(x, y) = x^2 − y^2 なら、
∂f(x, y)/∂y = 0 - 2y,
(x,y) = (a,b) のとき ∂f(x, y)/∂y = -2b です。

この回答へのお礼

ありがとうございました
かいけつしました

お礼日時：2020/12/22 20:43

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/12/22 20:20

z − f(a, b) = −(x − a)/(∂f(a, b)/∂x) = −(y − b)/(∂f(a, b)/∂y)

その公式を使って、計算間違いしなければ、
(a,b,f(a,b))) = (1,1,0) については No.3 と同じ答えになります。

(a,b,f(a,b))) = (1,0,1) については、∂f(a, b)/∂y = 0 になるので
式が少し変わってくることも、その「公式」の説明には書いてあったはずです。
公式は、正しく使わんとね。

∂f(a, b)/∂y = 0 のときの対処方がなぜあの式形になるかは、
No.3 のように法線のパラメータ表示を経由すれば自然に判ると思います。

この回答へのお礼

ありがとうございます
∂f(a, b)/∂y=ｘ＾２－２ｙであってますか

お礼日時：2020/12/22 20:31

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/12/22 19:25

違うなあ... どんな公式を使ったのか。

z = x^2 - y^2 を微分して、dz = 2xdx - 2ydy.
(x0,y0,z0) を通る接平面は、この式の
x,y,z を x0,y0,z0 で、dx,dy,dz を x-x0,y-y0,z-z0 で置き換えて
(z - z0) = (2x0)(x - x0) - (2y0)(y - y0) です。
展開整理すると、
(x0,y0,z0) = (1,1,0) のとき 2x - 2y - z = 0,
(x0,y0,z0) = (1,0,1) のとき 2x - z = 1
になります。

接平面の法線ベクトルを考えると、(x0,y0,z0) を通る法線は
(x0,y0,z0) = (1,1,0) のとき (x,y,z) = (1,1,0) + t(2,-2,-1),
(x0,y0,z0) = (1,0,1) のとき (x,y,z) = (1,0,1) + t(2,0,-1)
とパラメータ表示されます。 t を消去すれば、それぞれ
(x0,y0,z0) = (1,1,0) のとき (x - 1)/2 = (y - 1)/(-2) = z/(-1),
(x0,y0,z0) = (1,0,1) のとき (x - 1)/2 = (z - 1)/(-1), y = 0
になります。

この回答へのお礼

ありがとうございます
ちなみにこの公式を使いました
z − f(a, b) = −(x − a)/∂f(a, b)/∂x = −(y − b)/∂f(a, b)/∂y
適用した公式が間違っているのでしょうか

お礼日時：2020/12/22 19:51

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2020/12/22 18:29

公式の解釈にまちがいがあるのでは？

偏微分するのはもとの関数ｚ＝f(x, y) = x^2 − y＾2
のほうですよ。

この回答へのお礼

ｘ、ｙでそれぞれへんびぶんしたものに１，１を代入するとそれぞれ１、－１になります
ちなみにｘは２ｘ－ｙ＾２、ｙはｘ＾２－２ｙになりました
あとｙ=０はどのようにみちびきますか

お礼日時：2020/12/22 18:51

No.1 回答者： syotao 回答日時： 2020/12/22 17:14

ｚ＝(x－１)/－2＝(ｙ－1)/2

と
ｚ－1＝(ｘ-１)/-2、ｙ＝0　と思う。

この回答へのお礼

ありがとうございます
前者の法線はⅩ－1、y－1をそれぞれｘ、ｙで微分したものにｘ、ｙ=１，１を代入したものにー１をかけてわった結果解答にようになったのですがこのやり方自体が間違ってますか
ｙ＝０はどのようにしてなりますか

お礼日時：2020/12/22 17:20