数学

2次曲線3x^2+2xy+3y^2=4はどのような曲線を表すか。
という問題です。
線形代数の実対称行列を使ってお願いします。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/12/25 21:06

二次形式 3x^2+2xy+3y^2 の係数行列

　　3　　1
　　1　　3
の固有値が 4 と 2 で、どれも正だから
この二次曲線は楕円。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/12/25 20:34

3x^2+2xy+3y^2=4

(x,y)(3,1)(x)=4
.....(1,3)(y)

|3-t,1|
|1,3-t|
=
(3-t)^2-1=0
t^2-6t+8=0
(t-2)(t-4)=0

(3,1)(x)=(2x)
(1,3)(y).(2y)

3x+y=2x
x+3y=2y

x+y=0
y=-x
(x;y)=(x;-x)=x(1;-1)

(3,1)(x)=(4x)
(1,3)(y).(4y)

3x+y=4x
x+3y=4y

y=x
(x;y)=(x;x)=x(1;1)

(x)=(1/√2.,1/√2)(X)
(y).(-1/√2,1/√2)(Y)

x=(X+Y)/√2
y=(Y-X)/√2

3(X+Y)^2/2+(Y^2-X^2)+3(Y-X)^2/2=4
3(X+Y)^2+2Y^2-2X^2+3(Y-X)^2=8
3X^2+6XY+3Y^2+2Y^2-2X^2+3Y^2-6XY+3X^2=8
4X^2+8Y^2=8

X^2/2+Y^2=1
楕円