電磁気学の問題を教えて下さい。

問題文:誘電率ε1,ε2の二種類の誘電体の境界面に面密度σの真電荷が一様に分布している。 このとき，誘電率ε1の誘電体中の電界をE1，誘電率ε2の誘電体中の電界をE2とし，E1とE2の境界面の法線となす角をθ1,θ2とする。次式が成り立つ事を証明せよ。
ε2/tanθ2=(ε1/tanθ1)×{1-(σ/ε1×|E1|×cosθ1)}
この問題の詳しい計算方法、解法を教えて下さい。
||←絶対値です。見辛いですが宜しくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/02/07 08:01

与式を整理すると

　ε₂/tanθ₂-ε₁/tanθ₁=-σ/(|E₁|sinθ₁)
となります。

θ₁,θ₂≠0 とする。境界条件より、法線方向を１から２の向きにとると
　(D₂-D₁)・n=σ , E₁・t=E₂・t
　(n:単位法線ベクトル、t:単位接線ベクトル)
だから
ε₂E₂cosθ₂-ε₁E₁cosθ₁=σ , E₁sinθ₁=E₂sinθ₂
となる(E₁,E₂ はベクトルの大きさなので正)。

前者を後者で割ると
ε₂E₂cosθ₂/(E₂sinθ₂)-ε₁E₁cosθ₁/(E₁sinθ₁)=σ/(E₁sinθ₁)
→ ε₂/tanθ₂-ε₁/tanθ₁=σ/(E₁sinθ₁)

法線ベクトルの方向を逆にとれば与式が得られる。