体積の計算

3次元のｘｙｚ空間で、
ｘ＞０
ｙ＞０
ｚ＞０
ｘ＋ｙ＜１
ｙ＋ｚ＜１
ｚ＋ｘ＜１
で囲まれる部分の体積はどう計算したらいいでしょうか。統合はイコールを含むとします。
重積分で計算できたらいいんですが・・・。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2021/02/13 14:09

∫∫∫dx dy dz ただし積分範囲が

　　z は 0≦z≦1
　　y は 0≦y≦1-z
　　x は 0≦x≦min(1-y, 1-z)
である。なので、xの範囲がスッキリするように場合分けすりゃいいんです。
　　(1) 0≦z≦1/2, 0≦y≦z の場合
　　(2) 0≦z≦1/2, z≦y≦1 の場合
　　(3) 1/2≦z≦1, 0≦y≦1-z の場合
　　(4) 1/2≦z≦1, 1-z≦y≦1 の場合
という風に。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
勉強になりますが・・・。なぜ、ｚ→ｙ→ｘの順で、そういう風に分けられるのでしょうか？
どんなの図形というか立体なのか・・・・。

お礼日時：2021/02/14 03:18

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2021/02/13 14:10

ｘ≧０

ｙ≧０
ｚ≧０
ｘ＋ｙ≦１・・ｙ≦１－ｘ
ｙ＋ｚ≦１・・ｚ≦１－ｙ
ｚ＋ｘ≦１・・ｘ≦１－ｚ
から
１≧ｘ≧０
１≧ｙ≧０
１≧ｚ≧０
の座標（ｘ、ｙ、ｚ）の存在する空間の体積
てえことですね。
底面、1/2*1*1=1/2で高さ１の三角錐の体積＝１/3*1/2*1=1/6
でんな。
≦はきごうと入力して変換すると出てきます。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
でも本当に三角錐でしょうか？

お礼日時：2021/02/14 03:17

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/02/14 09:46

積分計算は複雑で難しいと思います。

頂点Tからxz線におろした垂線との交点をFとする。

求める体積Vは図の3角錐 xzOTの体積V₁の３倍です。V₁は３角形
xzOを底面Sとし、高さFT=h となります。というのは指定から、
面xzTはxz平面に垂直となるからです。

Tの座標は (1/2,1/2,1/2) だから
l=xT=√{(1-1/2)²+(0-1/2)²+(0-1/2)²}=(√3)/2
h=FT=√(l²-(xF)²)=√{3/4-(1/√2)²}=1/2
S=1/2
V₁=Sh/3=1/12
V=3V₁=1/4

No.4 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2021/02/14 10:52

No.1へのコメントについて。

> なぜ、ｚ→ｙ→ｘの順

　x,y,zのどれかを最初に選ぶべき理由はない。だからどんな順番でやってもいいんです。
　なぜなら：問題の"x"を"y"へ, "y"を"z"へ, "z"を"x"へと書き換えても、問題が全く変わらないでしょ？これはつまり「問題が対称である」ことを示している。言い換えれば、x,y,zのどれかを最初に選ぶべき理由が、[原理的に]存在しない、ってことです。

> どんなの図形というか立体なのか

　そんなことに煩わされないためにこそ、「重積分で計算できたらいい」とお考えになったのでは？（素晴らしいアイデアです！）

　しかしやっぱり「どんなの」かを知りたい、とおっしゃる。それはそれで、大変結構なことだと思います。
　どんな形なのか、その答を書くだけなら造作もない（し、誰かが書いちゃうかもしれない）が、せっかくですから、自分でトコトン考えてみるのが良い訓練になると思います。ただの三角錐であるわけがない、ってことまではお分かりになってるんだから、あともう一息です。

　やり方としては、例えば：
(step 1) z=0の場合、z=0.1の場合、... のそれぞれについて(x,y)の範囲を丁寧に作図する。（これこそが、No.1でやってる場合分けに対応しています。）それから、それらの図を3次元で積み重ねたらどうなるか、投影図をスケッチする。さらに、問題の対称性を思い出して、x=0の場合、x=0.1の場合、...、および、y=0の場合、y=0.1の場合、... のスケッチを重ねてみると、全体像が掴めるでしょう。
(step 2) それから、豆腐を包丁で切ってみて実験すると良さそうです。（豆腐なら、いくら失敗したって喰っちゃえばいい。）「立方体に包丁を3回入れるだけで作れる面の数」を考えれば、「どんな立体であるはずか」が幾何学的な直感として掴めるに違いない。
(step 3) 仕上げに、座標系を回転したもの、たとえば
　X = (2x-y-z)/√6
　Y = (y-z)/√2
　Z = (x+y+z)/√3
という直交座標系で作図し（立体のイメージを掴んでいれば難しくないでしょう）、さらに不等式をX,Y,Zで書き直してみる。直感を式に引き戻して観察するわけです。（step 1, 2を実践なされば、何でこんな座標系を選ぶか、の理由がピンと来るはず。）