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2次方程式 x^2+2mx+6-m=0 が、1より大きい異なる2つの実数解を持つとき、定数mの値の範囲を求めよ。
という問題で、
判別式より m<-3,2<m ・・・(1)
α>1 かつ β>1 より
α+β>2 αβ-(α+β)+1>0
α+β=-2m αβ=6-m
よって、-7<m<-1
ここで質問です、αβ-(α+β)+1>0,をαβ>1,となぜしてはいけないのですか?

A 回答 (4件)

NO2ですが、理解しておられると思いましたので要点だけ書きましたが、丁寧に説明しますと、次のとおり


 解が正負、正正、負負の場合の解き方は、軸で考える場合と和と積で考えるのと2とおりあります。
 今回は、和と積で考える場合ですから
   判別式、と α,βの積、和の3条件で決めるのです   が、参考書によく載っている
    α+β>0   αβ>0 というのは基準点を原点
    0を基準にしているので、正確には
 (α-0)+(β-0)>0 (α-0)(β-0)>0
  と解釈すべきです

 したがって 今回は基準点が1ですから
  (α-1)+(β-1)>0 (α-1)(β-1)>0
  今回の疑問点は、不等式の問題と混同してしまってい  ます。単なる不等式としても、
   αβ>1 ⊆ (α-1)(β-1)>0
    と思います
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この回答へのお礼

返信ありがとうございました。

お礼日時:2005/02/19 12:37

「α>0 かつ β>0」⇔「α+β>0 かつ αβ>0」であることから


おそらく
「α>1 かつ β>1」⇔「α+β>1+1 かつ αβ>1*1」
と考えたのかと思いますが、
「α+β>2 かつ αβ>1」でも「α>1 かつ β>1」であるとは限りません。
(例 α=4,β=1/2)

したがって、この場合は
「α>1 かつ β>1」
⇔「α-1>0 かつ β-1>0」
⇔「(α-1)+(β-1)>0 かつ (α-1)(β-1)>0」とします。
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x軸に左から0,A,1,B,C,Dと


点をとるとき

    A点とC点をとおる場合を除くためです
    確実にB,Dをとおるためには
   (α-1)(β-1)>0が必要
   (α-0)(β-0)>0 ではダメ
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αβ>1を採用したときに、



αβ(=6-m)>1
⇔5-m>0
⇔5>m
これでは、
-7<m<-1
ではなくて、
m<-1
までしか限定できないからですね。

よって、
(α-1)(β-1)>0
において、
(左辺)
=α(β-1)-(β-1)
=αβ-α-β+1
=αβ-(α+β)+1
とした方が、解が限定できるからですね。

ゆえに、
α>1 かつ β>1 より
和:α+β>2
積:(α-1)(β-1)>0
として、解を限定しているんですね。
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