教えて!gooにおける不適切な投稿への対応について

表題にあるとおり、関数方程式f(x+1)=2*f(x)はどのようにして解くのでしょうか。
解としてはもちろん指数関数が浮かぶのですが、先入観なしで解くにはどのような手法になるのか、詳しい方ご教示願います。

gooドクター

A 回答 (2件)

No.1です。

おっとと、もっとシンプルに書けましたね。
  j(x) = g(x)/(2^(x-floor(x)))
と思えば
  f(x) = (2^x) j(x) (j(x)は任意の「周期1の周期関数」)
    • good
    • 0

> もちろん指数関数が浮かぶ



「もちろん」とはどういうことだろう?…というのはさておき。

 仮にfが実数から実数への関数だとしましょう。floor(x)を「xを超えない最大の整数」のことだとして、
  s = x - floor(x)
  h(s)[n] = f(n+s)  ([n]ってのは数列の添字のつもりです)
と表せば
  f(x) = h(x-floor(x))[floor(x)]
である。すると、問題の関数方程式
  ∀x( f(x+1)=2f(x) )
は、0≦s<1である任意のsについて
  ∀n( h(s)[n+1] = 2h(s)[n] ) (ただしnは整数)
という漸化式に他なりません(sが定数だと思えば分かりやすいでしょう)。これを解いて
  h(s)[n] = (2^n)h(s)[0]
である。ここに、h(s)[0]は0≦s<1で定義される任意の関数です。
 したがって、
  f(x) = (2^floor(x)) h(x-floor(x))[0]
   (ただしh(s)[0]は0≦s<1で定義される任意の関数)

 でもh(s)[0]だの0≦s<1だのとなんだかゴチャゴチャしてるんで、結果をもう少しスッキリ表したい。そこで、
  ∀x( g(x+1) = g(x) )
を満たすgを考えると、これは「gは実数全体で定義される周期1の周期関数だ」と言っているのと同じです。これを使えば
  f(x) = (2^floor(x)) g(x) (gは任意の「周期1の周期関数」)
と書けます。
    • good
    • 0

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

gooドクター

このQ&Aを見た人がよく見るQ&A