関数方程式f(x+1)=2*f(x)の解き方

表題にあるとおり、関数方程式f(x+1)=2*f(x)はどのようにして解くのでしょうか。
解としてはもちろん指数関数が浮かぶのですが、先入観なしで解くにはどのような手法になるのか、詳しい方ご教示願います。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2021/03/03 13:02

No.1です。

おっとと、もっとシンプルに書けましたね。
　　j(x) = g(x)/(2^(x-floor(x)))
と思えば
　　f(x) = (2^x) j(x) （j(x)は任意の「周期1の周期関数」）

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2021/03/03 12:51

> もちろん指数関数が浮かぶ

「もちろん」とはどういうことだろう？…というのはさておき。

　仮にfが実数から実数への関数だとしましょう。floor(x)を「xを超えない最大の整数」のことだとして、
　　s = x - floor(x)
　　h(s)[n] = f(n+s)　　（[n]ってのは数列の添字のつもりです）
と表せば
　　f(x) = h(x-floor(x))[floor(x)]
である。すると、問題の関数方程式
　　∀x( f(x+1)=2f(x) )
は、0≦s＜1である任意のsについて
　　∀n( h(s)[n+1] = 2h(s)[n] ) （ただしnは整数）
という漸化式に他なりません（sが定数だと思えば分かりやすいでしょう）。これを解いて
　　h(s)[n] = (2^n)h(s)[0]
である。ここに、h(s)[0]は0≦s＜1で定義される任意の関数です。
　したがって、
　　f(x) = (2^floor(x)) h(x-floor(x))[0]
　　　（ただしh(s)[0]は0≦s＜1で定義される任意の関数）

　でもh(s)[0]だの0≦s＜1だのとなんだかゴチャゴチャしてるんで、結果をもう少しスッキリ表したい。そこで、
　　∀x( g(x+1) = g(x) )
を満たすgを考えると、これは「gは実数全体で定義される周期1の周期関数だ」と言っているのと同じです。これを使えば
　　f(x) = (2^floor(x)) g(x) （gは任意の「周期1の周期関数」）
と書けます。