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画像の分子を1にするとなぜ答えが2πiで、分子をf(z)とすると2πi×f(a)となるのでしょうか?

https://ymiyashitablog.com/complex-function-cauc …

「画像の分子を1にするとなぜ答えが2πiで」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • 画像のような感じです。

    「画像の分子を1にするとなぜ答えが2πiで」の補足画像1
      補足日時:2021/03/05 02:50
gooドクター

A 回答 (3件)

画像の分子を1にするとなぜ答えが2πiとなるかの理由は


周回積分公式
∫_{C}1/(z-α)dz=2πi
の証明にかかれているので
その証明を参照してください

分子をf(z)とすると2πif(a)となる理由は
コーシーの積分公式
∫_{C}f(z)/(z-α)dz=2πif(α)
の証明にかかれているので
その証明を参照してください
--------------------------------

周回積分公式
∫_{C}1/(z-α)dz=2πi
が成り立つとする

f(z)を展開すると
f(z)=Σ_{n=0~∞}(z-α)^nf^(n)(α)/n!
だから

∫_{C}f(z)/(z-α)dz
=∫_{C}Σ_{n=0~∞}(z-α)^(n-1)f^(n)(α)/n!dz
=f(α)∫_{C}{1/(z-α)}dz+∫_{C}[Σ_{n=1~∞}(z-α)^(n-1)f^(n)(α)/n!]dz

↓[Σ_{n=1~∞}(z-α)^(n-1)f^(n)(α)/n!]は正則だから
↓∫_{C}[Σ_{n=1~∞}(z-α)^(n-1)f^(n)(α)/n!]dz=0だから

=f(α)∫_{C}{1/(z-α)}dz

↓∫_{C}1/(z-α)dz=2πiだから

=2πif(α)


∫_{C}f(z)/(z-α)dz=2πif(α)
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そこに



コーシーの積分公式を証明する前に、
証明に必要な
「周回積分公式」を導いていきます

と書いてあるように

「コーシーの積分公式」から「周回積分公式」を証明するのではなく
「周回積分公式」から「コーシーの積分公式」を証明するのです


画像の分子を1にするとなぜ答えが2πiとなるかの理由は
その
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周回積分公式
∫_{C}1/(z-α)dz=2πi
の証明にかかれているので
その証明を参照してください

分子をf(z)とすると2πif(a)となる理由は
その
https://ymiyashitablog.com/complex-function-cauc …

コーシーの積分公式
∫_{C}f(z)/(z-α)dz=2πif(α)
の証明にかかれているので
その証明を参照してください
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コーシの積分公式を f(z) = 1(定数関数) に適用すると、


2πi f(a) = 2πi になるよね。
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