画像の分子を1にするとなぜ答えが2πiで、分子をf(z)とすると2πi×f(a)となるのでしょうか？

画像の分子を1にするとなぜ答えが2πiで、分子をf(z)とすると2πi×f(a)となるのでしょうか？

https://ymiyashitablog.com/complex-function-cauc …

質問者からの補足コメント

• 画像のような感じです。

  
    補足日時：2021/03/05 02:50

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/03/05 15:31

そこに

「
コーシーの積分公式を証明する前に、
証明に必要な
「周回積分公式」を導いていきます
」
と書いてあるように

「コーシーの積分公式」から「周回積分公式」を証明するのではなく
「周回積分公式」から「コーシーの積分公式」を証明するのです


画像の分子を1にするとなぜ答えが2πiとなるかの理由は
その
https://ymiyashitablog.com/complex-function-cauc …
の
周回積分公式
∫_{C}1/(z-α)dz=2πi
の証明にかかれているので
その証明を参照してください

分子をf(z)とすると2πif(a)となる理由は
その
https://ymiyashitablog.com/complex-function-cauc …
の
コーシーの積分公式
∫_{C}f(z)/(z-α)dz=2πif(α)
の証明にかかれているので
その証明を参照してください

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/03/05 14:37

コーシの積分公式を f(z) = 1(定数関数) に適用すると、

２πi f(a) = 2πi になるよね。

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/03/05 06:12

画像の分子を1にするとなぜ答えが2πiとなるかの理由は

周回積分公式
∫_{C}1/(z-α)dz=2πi
の証明にかかれているので
その証明を参照してください

分子をf(z)とすると2πif(a)となる理由は
コーシーの積分公式
∫_{C}f(z)/(z-α)dz=2πif(α)
の証明にかかれているので
その証明を参照してください
--------------------------------

周回積分公式
∫_{C}1/(z-α)dz=2πi
が成り立つとする

f(z)を展開すると
f(z)=Σ_{n=0～∞}(z-α)^nf^(n)(α)/n!
だから

∫_{C}f(z)/(z-α)dz
=∫_{C}Σ_{n=0～∞}(z-α)^(n-1)f^(n)(α)/n!dz
=f(α)∫_{C}{1/(z-α)}dz+∫_{C}[Σ_{n=1～∞}(z-α)^(n-1)f^(n)(α)/n!]dz

↓[Σ_{n=1～∞}(z-α)^(n-1)f^(n)(α)/n!]は正則だから
↓∫_{C}[Σ_{n=1～∞}(z-α)^(n-1)f^(n)(α)/n!]dz=0だから

=f(α)∫_{C}{1/(z-α)}dz

↓∫_{C}1/(z-α)dz=2πiだから

=2πif(α)

∴
∫_{C}f(z)/(z-α)dz=2πif(α)