最小値のルートについて。

例えば、y＝（xー 2)∧ 2＋7とかだと、x＝ 2で、最小値7とかになりますが、 2乗とかをすると、xの値は変わらず（x＝ 2)になりますが、最小値が、 √をつけた√7 が、最小値になるのは、なぜでしょうか？なぜ、xの値には、√を付けないのでしょうか？ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2021/03/08 15:48

二乗とかをするというのが、

y²＝(x-2)²+7
という意味なのであれば、

y²-(x-2)²=(±√7)²
という形にすると、グラフに書きやすいということですかね。
円のグラフ、楕円のグラフ、、、の流れで考えると少し意味が分かるかもしれません。

この回答へのお礼

以下のURLを見ていただけないでしょうか？
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/questio …
ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

お礼日時：2021/03/08 16:17

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/03/08 16:55

双曲線の基本がわかっていればわけなく理解できるはずです

y²=(x-2)²+7
⇔(x-2)²-y²=-7
⇔{(x-2)²/7}-(y²/7)=-1…①
でこの式は双曲線を表す
ゆえに、なんら他の条件がないなら最小値は存在しない

もし、y>0という限定条件付きならグラフをかけば一目瞭然で
グラフのもっとも低い位置は頂点(2,√7)
ゆえにyの最小値はこの頂点のy座標で√7
(いうまでもなく最小値を取るのはx座標=2の時）と誰にでもわかります

また式だけで処理するなら
①を媒介変数表示にして
y=√7/cosθ…②
x=√7tanθ+2…③とおくと良いです
（いうまでもない話ですが、これらを①へ代入で
tan²θ-(1/cos²θ)=-1
⇔sin²θ-1=-cos²θ
⇔sin²θ+cos²θ=1
なんでこの媒介変数表示に矛盾なし）
-1≦cosθ≦1だから
②のyの最小値は無し（yはマイナスの値でどこまでも小さくなり得る）
もしy>0という条件を加えれば
②のyが最小となるのはcosθ=＋1のときで
y(min)=√7
cosθ=1のときtanθ=0だから、➂よりx=2
ゆえに　yが最小を取るのはx=2のときで　y(min)=√7

グラフで考えても、媒介変数で処理しても
xに√がつくはずないことは明らかというわけです
（というかなぜ、√がつくと勘違いしたのか謎です）

No.3 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2021/03/08 17:11

y²=(x－2)²+7

y>0 とすると、
y=√{(x－2)²+7}

ｙが最小になるのは、ルートの中が最小になるときなので、(x－2)²+7 が最小になるときです。(x－2)²+7 は x=2 のとき、最小値７をとります。つまり、ルートの中は、x=2 のとき最小で、最小値は７です。これより、ｙは x=2 のとき最小値をとり、最小値は√7 です。

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2021/03/08 21:08

NO1 さんの お礼に書かれているサイトで、

y=√(2x+1) に x=2 を代入すれば y=√(2*2+1)=√5 ですよ。
そのすぐ後に 回答者からの訂正がありますよね。
ルートが付いていない x に、整数を代入して
勝手にルートが付くことはありません。