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微分方程式に関する質問です。
下記微分式と条件でyをxで表したいです。
よろしくお願いします。

dy/dx=exp(x)-y^2

質問者からの補足コメント

  • 計算過程もお願いします!

      補足日時:2021/03/12 14:59
gooドクター

A 回答 (2件)

z = exp(x)


とおくと、
  dy/dz + (1/z)y^2 - 1 = 0
となって、ともあれ第2項を消しちゃえば何とかなるんじゃないかしらん。えーと、
  y = (z/w)(dw/dz)
とすれば2階線型の
  z(d/dz)(dw/dz) + dw/dz - w = 0
になると思うんだが。そうだとして、これってベッセル方程式に似てるんで、そっちに寄せる。えーとえーと、
  z = (t^2)/4
とおく。以下、 ‘ をtによる微分のことだとすると
  dw/dz = (2/t)w’
  (d/dz)(dw/dz) = 4w’’/(t^2) - 4w’/(t^3)
となると思うんだが、そうすると、方程式は
  w’’ + w’/t - w = 0
になる(んじゃないかな)。すると、t^2倍して
  (t^2)w’’ + tw’- (t^2)w = 0
これはベッセル方程式
  (t^2)w’’ + tw’ - (t^2 - α^2)w = 0
でα=0の場合。というわけで、ベッセル関数だか変形ベッセル関数だかで一般解が書けるはずで、あとは教科書を探さんとなー。

 * 計算間違いの常習犯なのでご注意くだされ。
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答えではありませんが、高校生ですか?こんなの習うんですか?

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