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『偏微分』3年前から気になっていた記号

昔から、『xに関する偏微分』だったら
無意識に分母に、『∂x』とかいていましたが
なぜ分母に書くのですか?(写真参考)

とても気になります

「『偏微分』3年前から気になっていた記号 」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • つらい・・・

    まった、たこさんの全微分はどう考えれば良いのか、、、、、、、、、

      補足日時:2021/03/13 23:59
gooドクター

A 回答 (5件)

話題に上った全微分の定義はニ変数関数f(x,y)の場合で言えば



df=(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy

となりますが、なぜこの定義にしたかは以下のように考えれば分かりやすいと思います。


df=f(x+dx,y+dy)-f(x,y)

=f(x+dx,y+dy)-f(x,y+dy)

+f(x,y+dy)-f(x,y)

ここで

f(x+dx,y+dy)-f(x,y+dy)=

[{f(x+dx,y+dy)-f(x,y+dy)}/dx]dx

=(∂f/∂x)dx

f(x,y+dy)-f(x,y)=

[{f(x,y+dy)-f(x,y)}/dy]dy

=(∂f/∂y)dy

∴df=(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy

ちなみにfが一変数関数の場合は

df=(df/dx)dx

の事を微分と言い、これが多変数関数における全微分に相当します。恐らくは「全部の変数についての微分」と言う所から「全微分」と名付けられたのではと思っています。


PS:ここではニ変数関数の場合の全微分を書きましたが、三変数以上の関数についても同様になります。
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この回答へのお礼

理解できました!
ありがとうございます

お礼日時:2021/03/14 11:25

「3年前から気になっていた」ってことは, 3年前までは気にならなかったってことなんだろうか....



さておき f(x, y) の全微分
df = (∂f/∂x) dx + (∂f/∂y) dy
なんてのもありますね.
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この回答へのお礼

がんばります

高校生の頃に偏微分の計算方法は知っていましたが、意味も分からず解いていまして
頭の片隅で気になっていましたよ、、

全微分、、、、ですか、、、、
自分は全微分があるなら単微分もあって良いと思いました

お礼日時:2021/03/13 23:54

そもそもの微分は、


 y = f(x)
として、x を Δx だけ変化させたときの y の変化 Δy の割合である
 Δy/Δx
に対して、Δx → 0 としたのときの極限として定義されます。

「Δx に対する Δy の割合」ということで「Δy/Δx」です。
そして、その極限を記号として「dy/dx」と書きます。極限だと「0/0」なので、これは「割り算、分数」ではなく「全部合わせてひとつの記号」という位置づけになります。

偏微分は「変数が複数ある場合に、 x だけを変数とみなした微分」なので記号がちょっと変わりますが、意味合いは同じです。
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この回答へのお礼

ありがとう

わかりやすい説明ありがとうございます!
イメージができました!
今まで知らずになんとなく書いていたので
これからは、イメージしながら書こうと思います

お礼日時:2021/03/13 23:01

常微分の「dy/dx」の意味に立ち返って考えると納得しやすいと思います。




そもそもdy/dxとは、xの微小変化⊿xに伴うyの微小変化⊿yを考えた時の⊿y/⊿xにおいてxを限りなく小さくした時の極限です。⊿xを限りなく小さくしたものをdx、⊿yのそれをdyと書くわけですから、yをxで微分したdy/dxは「dx分のdy」と言う普通の分数だと考える事もできますし、物理等で微分を実際に使う場合にはこのように解釈した方が導関数の具体的なイメージがしやすいです。こう考えれば、ある意味常微分の延長である偏微分の場合も、偏微分する変数の方を分母に書くと約束するのは極めて自然だと思います。


なお数学の時間に「dy/dxはdx分のdyじゃない。これでひとまとめの記号だ」と習ったかもしれませんし、ある意味それも間違ってはいないわけですが、⊿xと⊿yがそれぞれ無関係にではなく連動して変化する事さえ押さえておけば、ここに書いた理解の仕方の方が実用的だと思います。
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この回答へのお礼

Thank you

たしかに、考えてみれば分母に書くのは自然なことですよね、、
その発想が今までなかったです
これからは、イメージを持って問題を解いていきたいと思います!
ありがとうございました

お礼日時:2021/03/13 23:03

なぜって言っても、そう決めた記号だからとしか...


気分的なことを言えば、∂/∂x と d/dx との類似性からですかね。
d/dx のほうには、df/dx は df と dx の比だという明確な理由がありますから。
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この回答へのお礼

『d/dx のほうには、df/dx は df と dx の比だという明確な理由がありますから。』
これはどういうことでしょうか?
初めて聞きました
噛み砕いた説明いただきたいです!

お礼日時:2021/03/13 20:41

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