数列について。

問題
数列 {a[n]} は任意の番号 i, j に対して
| a[i+j] - a[i] - a[j] | < 1/(i+j)
が成り立つものとする
{a[n]} は等差数列であることを示せ
で、
* 例えば a(n) = n^2だとなぜダメなのか
* a(n)の中の一つだけが等差数列からずれていたら、どうなるのか。例えば n=3の時だけ7で、他の時は a(n) = 2n という数列だとどうしてダメなのか
* 等差数列とあるが、例えば a(n) = 2n+3とかだと問題を満たすのか
と、この解説の 2行目からお願いします。
ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

No.14 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/04/04 10:23

{a(n)}が等差数列であれば

ある実数α,bが存在し
a(n)=αn+b
と書けるから

|a(i+j)-a(i)-a(j)|
=|α(i+j)+b-{αi+b}-{αj+b}|
=|αi+αj+b-αi-b-αj-b|
=|αi-αi+αj-αj+b-b-b|
=|-b|
=|b|

となるのです

a(n)=αn+bでなければ|a(i+j)-a(i)-a(j)|=|b|とはなりません

a(n)=αn+bだから|a(i+j)-a(i)-a(j)|=|b|となるのです

だから

すべての自然数nに対して

a(n)=n・a(1)

となる場合は
|a(i+j)-a(i)-a(j)|=0となるのです

No.13 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/04/04 03:49

すべての自然数nに対して

a(n)=n・a(1)

となるから

a(n+1)=(n+1)・a(1)
a(n)=n・a(1)

a(n+1)-a(n)=(n+1)・a(1)-n・a(1)=a(1)
だから
数列
{a(n)}={n・a(1)}
は
初項a(1)公差a(1)の等差数列となるのです

この回答へのお礼

すみません。話がものすごく飛んで、申し訳ないのですが、
｜a（i ＋j)ーa（i)ーa（j)｜＝｜b｜となるのでしょうか？ご教授いただけないでしょうか？

お礼日時：2021/04/04 08:55

No.12 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/04/03 16:16

|m・a(1)-a(m)|<|d|

と
|m・a(1)-a(m)|=|d|
が
矛盾しているのです
そして
a(m)≠m・a(1)となる自然数mがあるという仮定が
この矛盾を引き起こしたのだから

a(m)≠m・a(1)となる自然数mは存在しないことになるのです

だから

すべての自然数nに対して

a(n)=n・a(1)

となって

数列
{a(n)}は等差数列{a(n)=n・a(1)}となるのです

この回答へのお礼

これが、なぜ等差数列
（{a(n)}は等差数列{a(n)=n・a(1)}となるのです)
でしょうか？ご教授いただけないでしょうか？すみませんが。

お礼日時：2021/04/03 21:37

No.11 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/04/03 16:01

結局

|m・a(1)-a(m)|<|d|
と
|m・a(1)-a(m)|=|d|
が
矛盾しているのです
これがなぜわからないのでしょうか?

|m・a(1)-a(m)|=|d|
と
|m・a(1)-a(m)|と|d|を同じだとしたのにもかかわらず

|m・a(1)-a(m)|<|d|
となって

|m・a(1)-a(m)|より|d|が大きいと結論が出たのです
これが
矛盾でないとどうしていえるのでしょうか?

No.10 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/04/03 15:31

では

|m・a(1)-a(m)|<|d|
と
|m・a(1)-a(m)|=|d|
が
矛盾していないと考えているのでしょうか?
|m・a(1)-a(m)|<|d|
と
|m・a(1)-a(m)|=|d|
が
同時に成り立つと考えているのでしょうか?

|m・a(1)-a(m)|<|d|
と
|m・a(1)-a(m)|=|d|
が
同時に成り立つと仮定すると

|d|=|m・a(1)-a(m)|<|d|
が
成り立つから
∴
|d|<|d|
が
成り立つとなって|d|=|d|に矛盾するから

|m・a(1)-a(m)|<|d|
と
|m・a(1)-a(m)|=|d|
は
矛盾するのです

この回答へのお礼

結局何が矛盾しているのでしょうか？ご教授いただけないでしょうか？すみません。

お礼日時：2021/04/03 15:43

No.9 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/04/03 10:26

|m・a(1)-a(m)|<|d|

と

|m・a(1)-a(m)|=|d|

が
矛盾しているのがわからないのでしょうか?

この回答へのお礼

そうです。そこです。ご教授いただけないでしょうか？すみません。

お礼日時：2021/04/03 12:31

No.8 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/04/03 04:06

X=m・a(1)+a(M)-a(m+M)

Y=-{a(m)+a(M)-a(M+m)}
とすると

|X+Y|≦|X|+|Y|
となるのはわかりますか?

この回答へのお礼

はい。分かります。なぜ、矛盾になるのかご教授いただけないでしょうか？すみませんが。

お礼日時：2021/04/03 06:24

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/04/03 03:38

m・a(1)+a(M)-a(m+M)-{a(m)+a(M)-a(M+m)}

=m・a(1)+a(M)-a(m+M)-a(m)-a(M)+a(M+m)
=m・a(1)-a(m)+a(M)-a(M)-a(m+M)+a(M+m)
=m・a(1)-a(m)

がわからないのですか?

この回答へのお礼

いえ、その次の≦の所となぜ、矛盾になるのかが分かりません。ご教授いただけないでしょうか？すみません。

お礼日時：2021/04/03 03:56

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/04/02 21:42

k=1～mに対して

M<M+k

↓両辺に1/{(M+k)M}をかけると

1/(M+k)<1/M

≦　は　< または = の意味なので =　が成り立たなくても間違いではありません

この回答へのお礼

従っての所から分かりません。ご教授いただけないでしょうか？すみませんが。

お礼日時：2021/04/02 21:57

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/04/02 20:55

数列 {a[n]} は任意の番号 i, j に対して

| a[i+j] - a[i] - a[j] | < 1/(i+j)
が成り立つから

k=1～mに対して

i=1
j=M+k-1
とすると
i+j=1+M+k-1=M+k
だから

| a[M+k] - a[1] - a[M+k-1] | < 1/(M+k)

↓| a[M+k] - a[1] - a[M+k-1] |=| a[1] + a[M+k-1] - a[M+k] |だから

| a[1] + a[M+k-1] - a[M+k] | < 1/(M+k)

この回答へのお礼

この後の、≦は、なぜでしょうか？ご教授いただけないでしょうか？すみませんが。

お礼日時：2021/04/02 21:07