x（d^2y/dx^2）-dy/dx=4 の微分方程式の質問です。 x（d^2y/dx^2）-dy/

x（d^2y/dx^2）-dy/dx=4 の微分方程式の質問です。
x（d^2y/dx^2）-dy/dx=4 ①

p=y‘とすると

xp‘-p=4

両辺はxで微分すると

p’+xp‘’-p‘=0

xp’‘=0

p’‘=0 p’=c p=cx+c_1 ここで y‘=cx+c_1 ②

x=0を①に代入すると、

y‘(0)=-4をp=y’=cx+c_1に代入して計算するとc_1=-4
y‘=cx-4
一般解はy=(1/2)cx^2-4x+c_2

答え合ってますか。

教えてください。
よろしくおねがいします。

No.1 回答者： cametan_42 回答日時： 2021/04/12 17:17

y = (k_2)*x^2 -4*x +(k_1)/2

かな?

この回答へのお礼

kは係数ですから、任意数でもいいではありませんか。

お礼日時：2021/04/12 17:21

No.2 ベストアンサー 回答者： cametan_42 回答日時： 2021/04/12 18:23

> kは係数ですから、任意数でもいいではありませんか。

いいですよ。

でもそもそもですね。

> 答え合ってますか。

答え合わせする必要がないでしょう。
見た通り、

1. 数式処理ソフト

で答え合わせなんざ自分で出来る範疇ですし、あるいは、

2. 自分で導き出した関数を微分して代入

すれば検算なんざ簡単に出来る。
他人に答え訊く必要なんざねぇんですよ。

> y=(1/2)cx^2-4x+c_2

こいつを微分して

y' = cx - 4
y'' = c

として①で

x*y''- y'=?

の「?」が4になるかどうか自分でチェックすれば済む話です。

この回答へのお礼

いろいろなこと教えてありがとうございました。
勉強になりました。

お礼日時：2021/04/12 18:28

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/04/12 18:33

あってます。

答案の書き方に微妙なとこはありますが...

いきなり両辺を x で微分していますが、
p’’ が存在することを保証した後でないと微分できません。
①を x（d^2y/dx^2） = dy/dx + 4 と変形すると、
d^2y/dx^2 が存在することから右辺が微分可能で、
したがって左辺も微分可能と判ります。
そこで、両辺を x で微分して　　　　←[1]
d^2y/dx^2 + x（d^3y/dx^3） = d^2y/dx^2 + 0 より
x（d^3y/dx^3） = 0 です。

この式を見て、x ≠ 0 の範囲では d^3y/dx^3 = 0.
両辺を x で 3 回積分して、
y = Ax^2 + Bx + C {A,B,Cは定数} となります。
この解は、A,B,C の値によらず x = 0 でも d^3y/dx^3 = 0
となるので、解は大域的に y = Ax^2 + Bx + C と書けます。　　←[2]

[1]で 1 回微分して解いたので、
定数をひとつ決める必要が生じています。
[2]を①に代入すると -B = 4 になるので、
結局解は、 y = Ax^2 - 4x + C {A,Cは定数} です。

これを、y = (1/2)cx^2 - 4x + c_2 と書いても、
y = (k_2)x^2 - 4x + (k_1)/2 と書いても、
定数の名付け方が違うだけで、同じ一般解ですね。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2021/04/12 18:34