x''+x＝cost , x(0)＝0 , x'(0)＝1

x''+x＝cost , x(0)＝0 , x'(0)＝1

という微分方程式の解を求める問題を教えてください
途中式も加えて詳しく教えて欲しいです

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/04/21 14:11

x’’ + x = cos t　←[1]

線型微分方程式ですね。
非斉次線型微分方程式の一般解は、
ひとつの特殊解と
微分方程式を斉次化したものの一般解の和 です。

x’’ + x = 0 の一般解は、　←[2]
x = A sin x + B cos x {A,Bは定数} ですね。 これは、
特性方程式 λ² + 1 = 0 を解いて型の如く求めてもいいし、
[2]自体を暗記してるような話でもあります。

特殊解のほうはどうしよう？
冴えた式変形でぱぱっと導けるとカッコイイのだけれど、
思いつかないから定数変化法でもやってみますか。
x = y sin t を[1]へ代入してみると、
y’’ sin t + 2y’ cos t = cos t.
これって、 y’ = 1/2 (定数) であれば成り立ちますね。
y = (1/2)x なら十分です。

これを[2]の解と合わせると、[1]の一般解は
x = (x/2)sin x + A sin x + B cos x と書けます。
初期条件 x(0) = 0, x’(0) = 1 によって A,B を決めれば、
x = (x/2)sin x + sin x となります。