マクローリン展開の問題

cosx/(x^2＋1)をx^4の項までマクローリン展開せよ。という問題があったのですが、普通のマクローリン展開の公式で解いていくしかないのでしょうか？
あまりにも時間がかかるので簡単なやり方があったら教えて頂きたいです。

質問者からの補足コメント

• 分かりづらくすみません。
  Tacosanさんの前者の式です。

    補足日時：2021/05/07 18:34

• 詳しく教えていただいてもよろしいでしょうか？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2021/05/07 18:37

• ありがとうございます。やってみます。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2021/05/07 19:31

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/05/07 20:20

(cos x)/(x^2+1) を繰り返し微分する必要はないでしょ。

cos のマクローリン展開 cos x = 1 - (1/2)x^2 + (1/24)x^4 - ... を
1 + x^2 でわりましょう。 多項式の割り算です。
下図のように筆算して、 商は 1 - (3/2)x^2 + (37/24)x^4 + .... です。


　　　　　　1 - (3/2)x^2 + (37/24)x^4 + ....
　　　　　 ___________________________________
1 + x^2　　） 1 - (1/2)x^2 + (1/24)x^4 - ....
　　　　　　 1 + x^2
　　　　　　---------------------
　　　　　　　- (3/2)x^2 + (1/24)x^4
　　　　　　　- (3/2)x^2 - (3/2)x^4
　　　　　　　------------------------------------
　　　　　　　　　　　　(37/24)x^4
　　　　　　　　　　　　(37/24)x^4 + (37/24)x^6
　　　　　　　　　　　　------------------------------------------

この回答へのお礼

ありがとうございます！
簡単に解くことが出来ました！

お礼日時：2021/05/07 22:06

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/05/07 19:25

「詳しく」といわれてもなぁ....

cos x のマクローリン展開と 1/(x^2+1) のマクローリン展開を掛ければ
(cos x)/(x^2+1) のマクローリン展開
になる, ってだけの話.

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/05/07 18:07

これは

(cos x)/(x^2+1)
cos [x/(x^2+1)]
のどちらなんだろうか. それとも, どちらでもない何か?

いずれにしても,
べき級数はどう求めても同じ結果になる
ので, 工夫の余地はある. 例えば
cos x
1/(x2+1)
のマクローリン展開をする
とか, ね.