ｂ₍cos(θ－Φ)、sin(θ－Φ)）になる考え方を教えてください

「原点Oを中心とし半径aの円Oと、点Cを中心とし半径ｂ(ｂ<a)の円Ｃが座標平面上にある。円Ｏの内側を円Ｃが内接しながら滑ることなく転がるときの円C上の定点Pの軌跡を考える。円O上に定点A(a、0)をとる。点Pが点Aと重なるように円Cを円Oに内接させる。その位置から円Cが回転して∠AOC＝θの位置まで移動したときの点Pの座標を(ｘ、ｙ)とする。だだし、角度は弧度法で考える。このとき次の各問いに答えよ。
⑴Ｐの軌跡の方程式を、θを媒介変数として表せ。
⑵a=4bのとき、Ｐの軌跡の方程式をa、sinθ、cosθを用いて表せ。」
という問題について

解説において、「ベクトルOP＝ベクトルOC+ベクトルCP＝(a－b)(cosθ、 sinθ)+b(cos(θ－Φ)、 sin(θ－Φ))」という部分があるのですが、ベクトルCPのCをOの位置に移動して考えると、b(cos(θ－Φ)、 sin(θ－Φ))の部分はb(cos(Φ－θ)、 sin(Φ－θ))になるように思うのですが、なぜb(cos(θ－Φ)、 sin(θ－Φ)になるのでしょうか。

No.1 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2021/05/11 21:50

円Cが回転して∠AOC＝θの位置まで移動したときの円Cと円Oの接点をDとします。

円Cは円Oの内側を内接しながら滑ることなく転がるので、弧DAと弧DPの長さが等しいです。これより、円Cの回転した角度Φ＝∠DCPで、円Cは時計回りに転がるのでΦはDCより時計回りに測った角です。
θの向きは反時計回りなので、b(cos(θ－Φ)、 sin(θ－Φ))になります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時：2021/05/12 07:06