数学の問題です。 p(x)=(x^3)+(ax^2)+x+bは( x^2)+x-2で、割り切れるよう

数学の問題です。
p(x)=(x^3)+(ax^2)+x+bは( x^2)+x-2で、割り切れるようなaとbの求め方を教えてくださいお願いします

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/05/18 19:36

p(x) = (x^2+x-2)q(x) となる多項式 q(x) が存在するということだから、

x^3+ax^2+x+b = (x-1)(x+2)q(x) が成り立つ。
この式に x = 1 と x = -2 を代入すると
1+a+1+b = 0,
-8+4a-2+b = 0 となって、 a, b は少なくともこの式を満たさねばならない。
連立一次方程式を解くと、 a = 4, b = -6 に候補は絞られる。

ここまでは単なる必要条件なので、十分性の確認が必要だが、
a = 4, b = -6 のとき P(x) = x^3+4x^2+x-6 であって
P(x) = (x^2+x-2)(x+3) と割り切れるから、
a = 4, b = -6 は実際に解である。

No.3 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2021/05/18 16:32

因数定理を使う

7を2で割ると、商が2で余り１
これを数学で表現すると、7=2×3+1
こういうの、一番重要だから、絶対に押さえる。

これをp(x)に使うと
p(x)＝x³+ax²+x+b＝(x²+x-2)･商+余り　と書ける。

x²+x-2=(x+2)(x-1)と因数分解出来るから
p(x)＝x³+ax²+x+b＝(x+2)(x-1)･商+余り　と書ける。

xに-2または1を代入すると、(x+2)(x-1)･商の部分が、0･商となって右辺には「余り」だけが残る。

p(-2)=(-2)³+a(-2)²+(-2)+b=(-2+2)(-2-1)･商+余り
=0(-2-1)･商+余り=余り=0 [余り0と言ってるから]

p(1)=も同様に行なう

a,bについての式が2個出来るから、連立させて解く

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2021/05/18 16:15

(x^3)+(ax^2)+x+bを( x^2)+x-2で割ると

商ｘ+(a-1), 余り(3-a+1)x+b+2(a-1)となるので。
余りが０となれば良い。
3-a+1＝０　とb+2(a-1)＝０
a=4, b=-6

No.1 回答者： ポップなぷりん 回答日時： 2021/05/18 15:47

1や2など2つの具体的数字を代入するとふたつのaとbをつかった方程式が出てくるのであとは連立してAとBを求めるだけです