最大公約数や最小公倍数をだすときに、素数で割っていきますが
なぜ、素数でなければならないのですか?

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素数」に関するQ&A: 素数は無限

A 回答 (5件)

質問者の方がどのくらいのレベルなのかが把握できない為、一応基礎から全て答えますので、わかるところは適当に読み飛ばしてください。



「素因数分解」がわかれば、ここはすっ飛ばしてください。

まず、素数というものは「その数か1でしか割れない数(自然数)」です。
例:2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,…

全ての自然数は素数の掛け算で表す事ができます。
なぜなら、ある自然数が素数でなければ、その数は「その数か1以外でも割れる数」であり、割れる=積の形で表せることであり、さらにその積となった数字のひとつひとつが素数でなければまた同じく積の形に表せて…
最終全て素数の積になるでしょう。
例:ある自然数30について
30は2で割れる→30=2×15
15は3で割れる→30=2×(3×5)
2,3,5は素数だな→30=2×3×5はこれ以上分解できないな⇒終了

次に最大公約数について

「共通に割ることができる数で最大のもの」
例:18,24の場合⇒最大公約数は6(18÷6=3,24÷6=4)
ちなみに
18=6×3
24=6×4
と書くと、両方の式に共通の"6"が掛け算されていることがわかります。
このことから共通の積があればその数で両方とも割り切れ、共通の積で最大のものが最大公約数になる、ということは分かっていただけると思います。

で、本題の、なぜ素数で割るのか、ということに関してお答えすると、答えは「間違いがないから」です。

先の説明から素因数分解をすると、これ以上割れない数(素数)ばかりの積の形で表せます。
ここで大事なのは「誰がやっても、積でこれ以上分解できない同じ形」になることです。
例:180,600
180=2×2 ×3×3×5
600=2×2×2×3 ×5×5
誰がやってもこうなります。

で、最大公約数を求める時は、この中から共通の積で最大になる数を求めればいいわけです。
ちなみに素数で分けずに適当な積で分けると、
180=4×3×15
600=2×5×6×10
などとなり、さっぱり分かりません。

上の素因数分解の形でみると、
2は180では2つ、600では3つある、それじゃあ、共通にとれる2は2つだけだね。
3は180では2つ、600では1つある、それじゃあ、共通にとれる3は1つだけだね。
5は180では1つ、600では2つある、それじゃあ、共通にとれる5は1つだけだね。

180=(2×2×3×5)×3
600=(2×2×3×5)×2×5

最大公約数は2×2×3×5=60だ!
てな具合に間違いが少なく計算していくことができます。

長すぎてごめんなさい。
こんな書くつもりもなかったし、書く必要もないかと思ったけど、途中で引っ込みがつかなくなってしまいました。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
僕は小学5年生です。
とっても良くわかりました。僕たちは今、約数や公倍数を習っているのですが
素数という言葉も習ってないし、割り算の反対のような式で、2つの数の
最大公約数や最小公倍数の出し方も習っていません。
それで その出し方は親に聞いたのですが、なぜ素数でなければならないかが
よくわからなかったのです。
でも、よくわかりました。

お礼日時:2001/08/25 09:13

 (( 素人ですが ))



 素数でなくてもかまわないのではないでしょうかね。
例えば、18,12については,

 「どちらも掛け算の6の段にあるので」

  ・・・・・・・
と、ひらめいたら、

    18=6x3
    12=6x2

ですから、3と2にはもう(2以上の)共通の約数はありませんので,

    最大公約数  6
    最小公倍数  6x3x2=36

と、求められます。

 共通の約数がうまく見つかればいいのであって,
「必ず素数で割っていく」ということをしなくても,
このように最大公約数,最小公倍数は,正しく,求められます。

 普通,素数で割っていって最大公約数,最小公倍数を求めるのは,

         ・・・・・・・・・・・・・
    『うまく,ひらめかなくても,だれでも必ずできる』

からだと思います。2で割っていって,もう2で割れなくなったら,
次に3で割っていって・・・と,じゅんじょよくやっていけば,
見落とし(割りのがし?)がありません。

 素人は素数で割ることについて,そんなふうに思うのですが。
 
 
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例えば


36=2の2乗×3の2乗 となります。
素数の積にする事により 約数の個数が解ります。
この場合
 (指数+1)×(指数+1)が 約数の個数になります。
ある程度大きな数字の約数の個数を求めるときには
便利ですよ。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
僕は小学5年生です。
とっても良くわかりました。僕たちは今、約数や公倍数を習っているのですが
素数という言葉も習ってないし、割り算の反対のような式で、2つの数の
最大公約数や最小公倍数の出し方も習っていません。
それで その出し方は親に聞いたのですが、なぜ素数でなければならないかが
よくわからなかったのです。
でも、よくわかりました。

お礼日時:2001/08/25 09:21

はじめましてZincerです。

数学的な証明は専門家に任すとしまして、
こんなやつのことですよね、

a ) A0 B0
 ----------
b ) A1 B1
 ----------
c ) A2 B2
 ----------
  A3 B3

最大公約数 a×b×c
最小公倍数 a×b×c×A3×B3

別に素数でなくても構いません。例えば上の場合A0とB0を見てa×bが公約数であることが思いついた場合

a×b ) A0 B0
   ----------
 c ) A2 B2
   ----------
    A3 B3

と、成るだけですね。
しかし、注意しないといけないのは本当にA3とB3に公約数が無いかどうかです。
ある場合には答えが違いますので、念のために素数で考えた方が無難でしょう。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
僕は小学5年生です。
とっても良くわかりました。僕たちは今、約数や公倍数を習っているのですが
素数という言葉も習ってないし、割り算の反対のような式で、2つの数の
最大公約数や最小公倍数の出し方も習っていません。
それで その出し方は親に聞いたのですが、なぜ素数でなければならないかが
よくわからなかったのです。
でも、よくわかりました。

お礼日時:2001/08/25 09:22

公倍数や公約数を求めるためにはそれぞれの数がどんな数の掛け算の形で表されるかを知る必要があります。


例えば360は
360=2×2×2×3×3×5に分解します。
素数でない数で割る事はまだ分解しきれていないことになります。
完全に分解しきるには素数で割っていくべきなのです。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
僕は小学5年生です。
とっても良くわかりました。僕たちは今、約数や公倍数を習っているのですが
素数という言葉も習ってないし、割り算の反対のような式で、2つの数の
最大公約数や最小公倍数の出し方も習っていません。
それで その出し方は親に聞いたのですが、なぜ素数でなければならないかが
よくわからなかったのです。
でも、よくわかりました。

お礼日時:2001/08/25 09:22

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Q素因数分解で最小公倍数・最大公約数がわかるのは何故?

この年齢になって、ちょっと恥ずかしいのですが
素因数分解について質問があります。

なぜ素因数分解で「最小公倍数」や
「最大公約数」がわかるのでしょうか?

最大公約数の場合、例えば8と12だと

 2)8 12
  ーーーーーー
 2)4  6
  ------
   2  3

 8=2x2x2
12=2x2x3

となり、どちらの数にも縦軸の2x2が共通だから
4が最大公約数になる、というのはわかるんですけど
なんか、いまいち説明になってないような気もします。

2、12、16で最小公倍数を求めた場合

 2)8 12 16
  ------ーー
 2)4  6  8 
  -------- 
 2)2  3  4
  -------- 
   1  3  2

 8=2x2x2
12=2x2x3
16=2x2x2x2

なぜ2x2x2x1x3x2で答えを出すことが
出来るのかわかりません。

いろいろ考えてはみたんですが・・・(^^:

猿にも理解出来るよう、教えて頂けないでしょうか?

この年齢になって、ちょっと恥ずかしいのですが
素因数分解について質問があります。

なぜ素因数分解で「最小公倍数」や
「最大公約数」がわかるのでしょうか?

最大公約数の場合、例えば8と12だと

 2)8 12
  ーーーーーー
 2)4  6
  ------
   2  3

 8=2x2x2
12=2x2x3

となり、どちらの数にも縦軸の2x2が共通だから
4が最大公約数になる、というのはわかるんですけど
なんか、いまいち説明になってないような気もします。

2...続きを読む

Aベストアンサー

まずは小難しいことを考えずに、初心に返りましょう。

8の約数は、1,2,4,8
12の約数は、1,2,3,4,6,12
ですよね?
それで、これら約数の中に共通に含まれる値で、最大のものを最大公約数と呼んだわけです。

次に、素因数分解の結果を考えてみます。
8の素因数分解は、2*2*2
12の素因数分解は、2*2*3
ですね。
この素因数分解の結果を使って、それぞれの約数を全て表現できるってことに気づくのが第一歩です。
8だったら、
1:整数なら1を約数に持つのは自明
2:2
4:2*2
8:2*2*2

12だったら、
1:
2:2
3:3
4:2*2
6:2*3
12:2*2*3

とこのように、素因数分解の結果を適当に組み合わせることで、約数を作ることができます。
それで、各約数のうち、最大のものは何か?と考えると、共通する素因数を全て掛け合わせたものになるのです。


次に、最小公倍数です。
こちらで大切なポイントは、
8の素因数分解である2*2*2に何かを掛けたものは、絶対に8の倍数になるという点です。
つまり
(2*2*2)*3=24→8の倍数ですよね。
(2*2*2)*13=104→これもやっぱり8の倍数ですよね。

ということで、問題に帰ってみて、なぜ8,12,16の最小公倍数が2*2*2*2*3で表現できるかということですが、多分もう、説明しなくてもおわかりだと思います。
最初の2*2*2の部分で8の倍数であることが保証されます。
それで、さらに2を掛けて、2*2*2*2とすることで、16の倍数でもあることが保証されます。
12の倍数になるということについては、後半の2*2*3の部分で保証されるわけです。

8,12,16の全ての倍数になることが保証されて、なおかつ最小になるというものが、2*2*2*2*3なのです。

こんな感じでどうでしょう?

まずは小難しいことを考えずに、初心に返りましょう。

8の約数は、1,2,4,8
12の約数は、1,2,3,4,6,12
ですよね?
それで、これら約数の中に共通に含まれる値で、最大のものを最大公約数と呼んだわけです。

次に、素因数分解の結果を考えてみます。
8の素因数分解は、2*2*2
12の素因数分解は、2*2*3
ですね。
この素因数分解の結果を使って、それぞれの約数を全て表現できるってことに気づくのが第一歩です。
8だったら、
1:整数なら1を約数に持つのは自明
2:2
4:2*2
8:2*2*2

12だったら、
1...続きを読む

Q周期表のHな覚え方

一般的な覚え方は「水平リーベ僕の船・・・」だと思いますが、Hな覚え方があると聞きました。
知っていたら教えてください。

Aベストアンサー

参考URLを見ましょう \(^o^)/

http://www.d2.dion.ne.jp/~hmurata/goro.html

参考URL:http://www.d2.dion.ne.jp/~hmurata/goro.html

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x^3+2x^2-9x-18÷x-3=x^2+5x+6
よってA×B=x^2+5x+6=(x+2)(x+3)
これよりxの整式二つは、
(x+2)(x-3)=x^2-x-6
(x+3)(x-3)=x^2-9

まで解いたんですが、おかしくないでしょうか。
あと解説はないですが、答えだけあって、
この問題の答えは、
x^2-x-6   x^2-9
または
x-3   x^3+2x^2-9x-18
となってるんですが、
どうしたらx-3   x^3+2x^2-9x-18という答えが出るんでしょうか?

Aベストアンサー

>まで解いたんですが、おかしくないでしょうか。
そこまではOK。

問題はココ。
A×B=x^2+5x+6=(x+2)(x+3)

A = 1
B = (x+2)(x+3)

でも成り立つよね?


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