この問題の解き方を教えてください

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質問者：レモンサイダー
質問日時：2021/06/04 17:57
回答数：5件

時間 t を変数とする 3 つの関数 f(t), g(t), h(t) を以下のように定める (ただし t > 0)

f(t) = a log(1 + t), g(t) = b log(1 + t), h(t) = f(t)＾c　g(t)＾(1−c)(ただし a, b, c はそれぞれa, b > 0; 0 < c < 1 なる定数とする．) このとき時点 t = e − 1 における h(t) の値の成
長率を求めよ

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回答 (5件)

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No.5

回答者： gootarohanako
回答日時：2021/06/10 11:12

あなたはこの質問

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12397200.html

何も説明しないうちに閉じてしまった（しかもベストアンサー）。この問題は解決したのだろうか？解決したのならよいが、していないのなら、ここで説明するよ。

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この回答へのお礼

ありがとうございます
もう解決しました

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お礼日時：2021/06/11 19:14

No.4

回答者： gootarohanako
回答日時：2021/06/10 05:45

本当に理解できたのだろうか？あなたのほかの質問より、ここの問題はずっとむずかしい問題だと思うが。

。。ここで使っている微分は

d(log X)/dX= 1/X

となる自然対数の微分公式だし、合成関数の微分の公式

F(X)=f(g(X))
⇒
F'(X)=f'(g(X))g'(X)

も使っている。

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No.3

回答者： gootarohanako
回答日時：2021/06/04 21:06

ここでlogは自然対数、eは自然対数の底ですね。

解き方といってもそのまま計算すればよいだけです。
h(t)の成長率はh'(t)/h(t) = d(log h(t))/dtであるから、h(t)のlogをとってそれをｔで微分すれば、h(t)の成長率が得られる。
h(t)=f(t)^c・g(t)^(1-c)
の両辺のlogをとると、
log h(t)=clog f(t) + (1-c)log g(t)
両辺をｔで微分すると
h'(t)/h(t) = cf'(t)/f(t) + (1-c)g'(t)/g(t)　　　　　　　　　　　(*)
ところが、
f(t)= a log(1+t)
g(t) = b log(1+t)
f'(t) = a /(1+t)
g'(t) = b/(1+t
だから、これらを(*)の右辺に代入すると
h'(t)/h(t) =(c/(1+t))/log (1+t) + ((1-c)/(1+t))/log(1+t)
となる。t=e-1を代入すると、log e = 1に注意して
h'(e-1)/h(e-1) = (c/e)/log e + ((1-c)/e)/log e = c/e + (1-c)/e = 1/e
となる。これがt=e-1におけるh(t)の成長率の値だ。