y''''+(1/4)y=0の微分方程式の解き方を教えてください！特性方程式に置き換えた後がわからな

y''''+(1/4)y=0の微分方程式の解き方を教えてください！特性方程式に置き換えた後がわからないです。

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/06/16 08:28

特性方程式　t⁴+1/4=0　の根は

　t⁴=-1/4=(1/4)(cosπ+isinπ)
したがって、ド・モワブルの定理から
　t=(1/√2){cos(π/4+2πk/4)+isin(π/4+2πk/4)} (k=0,1,2,3)
→
t=(1/√2)(1/√2+i/√2)=(1+i)/2
　t=(1/√2)(-1/√2+i/√2)=(-1+i)/2
　t=(1/√2)(-1/√2-i/√2)=-(1+i)/2
　t=(1/√2)(1/√2-i/√2)=(1-i)/2
→
t=(1/√2)(1/√2+i/√2)=(1±i)/2
t=(1/√2)(-1/√2+i/√2)=(1±i)/2

したがって
　y=e^(x/2){A₁cos(x/2)+B₁sin(x/2)}
　　＋e^(-x/2){A₂cos(x/2)+B₂sin(x/2)}