
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
t = tan(θ/2) の置換で解けることは、保証されてはいるけれど、
答えに至るまでの計算は、そこそこ大変そう。
問題の被積分関数中に θ が (cosθ)^2 でだけ含まれている
ことを考えると、倍角公式を使って (cosθ)^2 = { cos(2θ) + 1 }/2
で置き換えた後、同じ手法で分数式の積分へ帰着しようとすれば、
u = tan(2θ/2) で置換することになる。
こっちのほうが計算が簡単そうだろうという予測はつく。
u = tanθ と置くと、
du/dθ = 1/(cosθ)^2 と
1 + u^2 = 1 + (tanθ)^2 = 1/(cosθ)^2 から
∫{ c/( c^2 + b(cosθ)^2 ) }dθ ; 係数 d は紛らわしいので、一旦 b にしておく
= ∫{ c/( c^2 + b(cosθ)^2 ) } (cosθ)^2 du ; dθ を消す
= ∫{ c/( c^2 + b/(1 + u^2 ) ) }{ 1/(1 + u^2) }du ; cosθ を消す
= ∫{ c/( (c^2+b) + (c^2)u^2 ) }du ; 分数を整理
= ∫{ (a^2/c)/( 1 + (a^2)u^2 ) }du ; a = c/√(c^2+b) 置く
= ∫{ (a^2/c)/( 1 + (tanφ)^2 ) }{ (1/a)/(cosφ)^2 }dφ ; au = tanφ で置換
= (a/c)∫dφ
= (a/c)φ + (積分定数).
θ,u,φ の対応は
θ 0 π/2
u 0 1
tanφ 0 a
φ 0 arctan(a)
となるので、
求める値は
[ (a/c)φ ]_(θ=0...π/2) = [ (a/c)φ ]_(φ=0...arcran(a)) = arcan(a)
= arctan( c/√(c^2+b) ).
ああ、もともとは arctan( c/√(c^2+d) ) だったか。
この回答へのお礼
お礼日時:2020/09/10 05:47
詳しい導出までありがとうございます。非常に参考になりました!
一つ確認ですが、uの積分範囲は、0 ~ ∞ですよね?
この問題には、物理的な背景があり、0 ~ ∞とした場合、現象論をきれいに記述することができました!
No.4
- 回答日時:
No.3です。
定積分については、No.3に示した積分サイトでは計算できなかったので、
Mathematicaに計算させたら、以下のようになりました。

No.3
- 回答日時:
こういうのはコンピューターにやらせるのが一番。
下記のページでその式を書き込んで「Go」すれば答えが出る。
(「Show steps」を押せば、置換などの計算過程も表示される)
ちなみに、不定積分は下図になるが(変数をθではなくxにしてある)、
定積分ではtan(π/2)が登場するようなので、うまく極限計算をして下さい。
https://www.integral-calculator.com/

No.2
- 回答日時:
・答不定積分から始めます
∫c/(c^2+dcos^2θ)dθ=∫1/(c+d/c*cos^2θ)dθ
=∫1/(c+d/c*cos^2θ)*1/(d/c cos^2θ)/ 1/(d/c cos^2θ)dθ・・①
① でu=c/d*tanθとして
du= c/d*1/cos^2θ*dθ
u^2=sin^2θ/cos^2θ(c/d)^2={(1/cos^2θ-1) (c/d)^2}
(du/c)^2+1=1/cos^2θ
① =c/d∫1/(c^4/d^3*u^2+2)*du
= c/2d∫1/(1/2*c^4/d^3*u^2+1)*du
1/√2 *c^2√d^3u=t と置く
1/√2*c^2√d^3du=dt , du=√2*c^2√d^3dt
よって、
=√2*c^2√d^3* c/2d∫1/(t^2+1)*dt=c^3√d* c/√2∫1/(t^2+1)*dt
=c^4√d/√2*arctant+C
= c^4√d/√2*arctan(1/√2 *c^2√d^3u )+C
= c^4√d/√2*arctan(1/√2 *c^2√d^3(c/d*tanθ)+C
= c^4√d/√2*arctan(1/√2 *c^3√d(tanθ)+C
定積分[0-π/2]はc^4√dπ/2√2・・答え
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