微分方程式の初期値問題で、基本解と一般解は求められたのですが、初期値問題の特殊解の解き方がよく分かり

微分方程式の初期値問題で、基本解と一般解は求められたのですが、初期値問題の特殊解の解き方がよく分かりません。
どうゆう風に書けば、答えになるのか教えてもらえたらと思います。
問題:y”+2y’+5y=0, y(0)= 1, y’(0)= 0
この問題で、基本解が(e-xsin2x,e2xcos2x)で、一般解が(y=C1e-xsin2x+C2excos2x)という結果になりました。
初期条件を満たすように未定定数を決めて特殊解の出し方を教えてもらえればと思います。
以上、よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2021/06/28 17:03

＞一般解が(y=C1e-xsin2x+C2excos2x)という結果になりました。

恐ろしく不正確な式の書き方だ。
それじゃ、自分でも間違うでしょう？

y = C1*e^(-x)*sin(2x) + C2*e^x*cos(2x)　　　①

ぐらいの書き方にしないと。

①の一般解が正しいとして、
初期条件は、これに x=0 を代入したときに =1 になるのだから
　y(0) = C1*e^0*sin(0) + C2*e^0*cos(0) = C2 = 1
従って、
C2 = 1　　　②

y'(x) を計算して
　y' = C1*[e^(-x)]'*sin(2x) + C1*e^(-x)*[sin(2x)]' + C2*[e^x]'*cos(2x) + C2*e^x*[cos(2x)]'
= -C1*e^(-x)*sin(2x) + 2C1*e^(-x)*cos(2x) + C2*e^x*cos(2x) - 2C2*e^x*sin(2x)
これに x=0 を代入して
　y'(0) = -C1*1*sin(0) + 2C1*1*cos(0) + C2*1*cos(0) - 2C2*1*sin(0)
= 2C1 + C2 = 0
従って
　C1 = -(1/2)C2
②より
　C1 = -1/2

これらを①に代入して
　y = -(1/2)e^(-x)*sin(2x) + e^x*cos(2x)

この回答へのお礼

ありがとうございます。書き方がよくわかりませんでしたので、次からはこれを参考にして解くように心がけます。申し訳ありません。
とても参考になりました。ありがとうございました。

お礼日時：2021/06/28 17:07