数的処理

赤玉3つ、白玉2つ、黒玉4つの中から4つ選んで1列に並べる方法は何通りか。
という問題ですけど、解くには樹形図しか方法はないでしょうか？
簡単に解ける方法ありましたら教えてください！

No.3 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2021/07/11 22:46

選ばれた４つの玉に含まれる白玉の個数で場合分けします。

（1）白玉が2個の場合
4つの玉を1列に並べるとき、白玉2個が置かれる場所は、
₄C₂＝６（通り）
残りの2か所に赤玉か黒玉を置きます。
一方の色の玉の置き場所が決まれば、もう一方の色の玉の置き場所は自動的に残りの場所に決まります。
①赤玉2個、黒玉0個の場合は、赤玉2個が置かれる場所は、
₂C₂＝１（通り）
②赤玉1個、黒玉1個の場合は、赤玉1個が置かれる場所は、
₂C₁＝２（通り）
③赤玉0個、黒玉2個の場合は、赤玉が置かれる場所はないので、
₂C₀＝１（通り）
以上により、白玉2個の場合の並び方の総数は、
6×(1+2+1)=24（通り）

（２）白玉が1個の場合
4つの玉を1列に並べるとき、白玉1個が置かれる場所は、
₄C₁＝4（通り）
残りの3か所に赤玉か黒玉を置きます。
①赤玉3個、黒玉0個の場合は、赤玉3個が置かれる場所は、
₃C₃＝１（通り）
②赤玉2個、黒玉1個の場合は、赤玉2個が置かれる場所は、
₃C₂＝3（通り）
③赤玉1個、黒玉2個の場合は、赤玉1個が置かれる場所は、
₃C₁＝3（通り）
⓸赤玉0個、黒玉3個の場合は、赤玉が置かれる場所はないので、
₃C₀＝１（通り）
以上により、白玉1個の場合の並び方の総数は、
4×(1+3+3+1)=32（通り)

（３）白玉が0個の場合
4つの玉を1列に並べるとき、白玉が置かれる場所はないので、
₄C₀＝1（通り）
4か所に赤玉か黒玉を置きます。
①赤玉3個、黒玉1個の場合は、赤玉3個が置かれる場所は、
₄C₃＝4（通り）
②赤玉2個、黒玉2個の場合は、赤玉2個が置かれる場所は、
₄C₂＝6（通り）
③赤玉1個、黒玉3個の場合は、赤玉1個が置かれる場所は、
₄C₁＝4（通り）
⓸赤玉0個、黒玉4個の場合は、赤玉が置かれる場所はないので、
₄C₀＝1 (通り）
以上により、白玉0個の場合の並び方の総数は、
1×(4+6+4+1)=15（通り)

したがって、求める並べ方の総数は、
24+32+15=71(通り)

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/07/11 18:13

あまり楽な方法は無さそうです。

赤玉3つ、白玉2つ、黒玉4つの中から4つ選ぶ組み合わせは
赤玉0、白玉0、黒玉4,
赤玉1、白玉0、黒玉3,
赤玉1、白玉1、黒玉2,
赤玉1、白玉2、黒玉1,
赤玉2、白玉0、黒玉2,
赤玉2、白玉1、黒玉1,
赤玉2、白玉2、黒玉0,
赤玉3、白玉0、黒玉1,
赤玉3、白玉1、黒玉0.
があります。

そのそれぞれについて、
赤玉r、白玉w、黒玉b を一列に並べる方法は
(r+w+b)！/( r！ w！ b！ ) 通りです。　←[1]

[1] を 9 個計算して合計すれば、答えになります。


「数的処理」ってことは、選択式の問題でしょう？
まじめに最後まで計算しなくても、
概算して消去法でどうにかならないですかね。

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/07/11 17:03

樹形図は一部だけ書いて

計算をもちいれば省エネで解けます