高校数学2年生 剰余の定理

P(X)を(X－1)で割った余りが3. X²－X－6で割った余りが
2X＋17であるとき、P(X)を(X－1)(X＋2)(X－3)で割った余りを求めよ。


解答と解説をお願いします。答えが分数になって不安です。
よろしくお願いします。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/07/12 00:52

P(x) を (x-1)(x+2)(x-3) で割った余りが ax²+bx+c であるとき、

P(x) = (x-1)(x+2)(x-3)Q(x) + (ax²+bx+c)
　　= (x-1)(x²-x-6)Q(x) + (ax²+bx+c) であって、
P(x) = (x-1)(x²-x-6)Q(x) + (ax²+bx+c)
　　= (x-1){ (x²-x-6)Q(x) + ax + (a+b) } + (a+b+c),
P(x) = (x²-x-6)(x-1)Q(x) + (ax²+bx+c)
　　= (x²-x-6){ (x-1)Q(x) + a } + (a+b)x + (6a+c).
と書けます。
題意より、 a+b+c = 3,
　　　　a+b = 2, 6a+c = 17 です。
連立一次方程式を解いて、
a = 8/3, b = -2/3, c = 1 と判ります。