なぜx>0の時1/xになり、 なぜx<0の時に(-x)'/-xになるのでしょうか？ どうか微分の定義

なぜx>0の時1/xになり、
なぜx<0の時に(-x)'/-xになるのでしょうか？
どうか微分の定義を用いてわかりやすく解説して頂けないでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2021/07/27 10:19

絶対値の定義は分かりますよね？

A>0 のとき |A| = A　　　　①
A<0 のとき |A| = -A (>0)　　　②
A=0 のとき |A| = A = -A (=0)　　　③

対数の真数は「正」でなければいけません。
なので
　log|x|
と書いてあります。

これを微分するときに x>0 ならすんなり理解できると思いますが。
x<0 のときには、上の②から
　|x| = -x >0
ということになります。従って
　log|x| = log(-x)

これを微分するときに
　y = -x
と置換すれば、y>0 であり
　 log|x| = log(-x) = log(y) = u
で、合成関数の微分から
　(log|x|)' = d(log|x|)/dx = d(log(y))/dx = du/dx
= (du/dy)(dy/dx)
であり、

　du/dy = d(log(y))/dy = 1/y = -1/x
　dy/dx = d(-x)/dx = (-x)' = -1

なので
　
　(log|x|)' = (du/dy)(dy/dx) = (-1/x)(-x)' = 1/x

となります。

従って、log|x| の微分は、x が正であっても負であっても
　(log|x|)' = 1/x
ということになります。
ただし x≠0 です。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2021/07/27 10:59

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/07/27 08:04

合成関数の微分

z(x)=f(g(x))
の微分は、u=g(x)とおいて
dz/dx=df(u)/du・dg(x)/dx
にu=g(x)を代入して得ます。

df(u)/duは、fがuを独立変数とする関数と見て
形式的に微分することに注意。

この場合
μ=g(x)=-x

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2021/07/27 10:59