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2時元極座標への座標変換 r,θ→x,yは
x=rcosθ,y=rsinθ(r>=0,0=<θ<2π)
で与えられる。この逆変換を求めて連鎖律を
適用し、
二次元ラプラシアンΔ=∂^2/∂x^2+ ∂^2/∂y^2を
極座標で表現せよ。
この問題を教えて欲しいです

A 回答 (3件)

r^2 = x^2 + y^2 ①


tanθ=y/x ②
から
∂/∂x、∂/∂y
を求めることから始める。

∂f(r,θ)/∂x = ∂f/∂r・∂r/∂x + ∂f/∂θ・∂θ/∂x

① を x で偏微分すると
2r∂r/∂x=2x → ∂r/∂x=x/r=cosθ
#x/r=rcosθ/r=cosθ
②tanθ=y/x → xsinθ=ycosθ
を x で偏微分すると
sinθ + xcosθ・∂θ/∂x=-ysinθ・∂θ/∂x
sinθ = -(xcosθ+ysinθ)∂θ/∂x
∂θ/∂x = - sinθ/(xcosθ+ysinθ)=-sinθ/r
#xcosθ+ysinθ = rcosθcosθ+rsinθsinθ=r

よって
∂f(r,θ)/∂x = ∂f/∂r・cosθ - ∂f/∂θ・sinθ/r
∂/∂x = cosθ・∂/∂r - sinθ/r・∂/∂θ

だいたい同様にして
∂/∂y = sinθ・∂/∂r + cosθ/r・∂/∂θ

後は ∆=∂/∂x(∂/∂x) + ∂/∂y(∂/∂y) を注意深く計算する。
#演算子は適用順で結果が変わることに注意!

くそ面倒だが3次元極座標のラプラシアンに比べれば
極楽だ。いるのはド根性だけ(^^;
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いや、普通に...



極座標による偏微分は
∂g/∂r = (∂g/∂x)(∂x/∂r) + (∂g/∂y)(∂y/∂r)
   = (∂g/∂x)(cosθ) + (∂g/∂y)(sinθ),
∂g/∂θ = (∂g/∂x)(∂x/∂θ) + (∂g/∂y)(∂y/∂θ)
   = (∂g/∂x)(- r sinθ) + (∂g/∂y)(r cosθ),
だから、連立一次方程式を解いて
∂g/∂x = (∂g/∂r)(cosθ) - (∂g/∂θ)(sinθ)/r,
∂g/∂y = (∂g/∂r)(sinθ) + (∂g/∂θ)(cosθ)/r.

これを2度使って、
∂^2f/∂x^2 = (∂/∂x){ (∂f/∂r)(cosθ) - (∂f/∂θ)(sinθ)/r }
     = { (∂/∂x)(∂f/∂r) }(cosθ) + (∂f/∂r){ (∂/∂x)(cosθ) }
      - { (∂/∂x)(∂f/∂θ) }(sinθ)/r - (∂f/∂θ){ (∂/∂x)(sinθ)/r }
     = { (∂^2f/∂r^2)(cosθ) - (∂^2f/∂r∂θ)(sinθ)/r }(cosθ)
      + (∂f/∂r){ 0(cosθ) - (- sinθ)(sinθ)/r }
      - { (∂^2f/∂θ∂r)(cosθ) - (∂^2f/∂θ^2)(sinθ)/r }(sinθ)/r
      - (∂f/∂θ){ ( - (sinθ)/r^2 )(cosθ) - ( (cosθ)/r )(sinθ)/r }
     = (∂^2f/∂r^2)(cosθ)^2
      - (∂^2f/∂r∂θ)(sinθ)(cosθ)/r
      + (∂f/∂r)((sinθ)^2)/r
      - (∂^2f/∂θ∂r)(sinθ)(cosθ)/r
      + (∂^2f/∂θ^2)((sinθ)^2)/r^2
      + (∂f/∂θ)(sin2θ)/r^2.
同様に、
∂^2f/∂y^2 = (∂^2f/∂r^2)(sinθ)^2
      + (∂^2f/∂r∂θ)(sinθ)(cosθ)/r
      + (∂f/∂r)((cosθ)^2)/r
      - (∂^2f/∂θ∂r)(sinθ)(cosθ)/r
      + (∂^2f/∂θ^2)((cosθ)^2)/r^2
      - (∂f/∂θ)(sin2θ)/r^2.
以上より
∂^2f/∂x^2 + ∂^2f/∂y^2
 = (∂^2f/∂r^2) + (∂f/∂r)/r + (∂^2f/∂θ^2)/r^2,

△ = ∂^2/∂x^2 + ∂^2/∂y^2
 = (∂^2/∂r^2) + (1/r)(∂/∂r) + (1/r^2)(∂^2/∂θ^2).
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どこで躓きましたか?

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