亜光速宇宙船の航行について

Question

地球から１０光年離れた植民地惑星Ａがあると仮定します。宇宙船が、地球からＡに向って光速の９０％のスピードで発進したとします。

さて地球＆Ａ時間で５年が経ちました。Ａから航行中の宇宙船に向って電波通信が放たれました。

そのとき宇宙船は４.５光年進んでいるはずですよね？　宇宙船が通信をキャッチするのは地球を旅立ってから地球＆Ａ時間で何年後になるのでしょうか？

無い知恵絞って考えてみました。

Ｘを地球＆Ａ時間とします。
通信の速さ×Ｘ＋宇宙船の速さ×Ｘ＝通信が放たれたときのＡと宇宙船との距離

で、数式は合ってるでしょうか？　速さを光年で表します。

１Ｘ＋０.９Ｘ＝１０－４.５
　　　１.９Ｘ＝５.５
　　　　　 Ｘ＝約２.８９

約２.８９年後に通信をキャッチしたことになるのでしょうか？　これが正しいとすれば、宇宙船は地球を旅立ってから（つまり５を足して）約７.８９年後に通信をキャッチした、と考えていいのでしょうか？

ここで新たな疑問です。宇宙船内では時間はどのくらい経過したのか？　相対性理論によれば光速の９０％では、地球の１秒が０.４４秒にまで遅れるはずです。

７.８９×０.４４＝約３.４７

宇宙船の通信士は、約３.４７年旅をしてきてある日、地球＆Ａ時間で５年経った、すなわち宇宙船からすれば５－約３.４７＝約１.５３年未来からの通信を傍受することになるのでしょうか？

なんだか頭がこんがらがってきました。長文、大変失礼いたしました。
どなたかこの方面に明るい方、ご回答願えれば光栄です。

shiara · Accepted Answer

考え方は間違ってはおりませんが、3.47年ではなく、3.44年がより正確です（No2様のご指摘の通りです）。
　さて、少し混乱しそうですが、もう少し出来事を整理してみましょう。以下の4つの出来事について、いつ、どこで起きた出来事なのかを、地球と宇宙船とで比較してみます。(1)宇宙船が地球を出発、(2)植民星Aから電波を発信、(3)宇宙船が電波を受信、(4)宇宙船が植民星Aに到着。（場所、時間）の形で、座標点として表します。
　地球から見ると、それぞれ次のようになります。
(1)宇宙船が地球を出発（0,0）：これは、座標の原点をそのように設定したということです。
(2)植民星Aから電波を発信（10光年、5年）：10光年離れた植民星Aから5年後に電波を発信したということです。
(3)宇宙船が電波を受信（7.11光年、7.89年）：質問者様の計算のとおりです。
(4)宇宙船が植民星Aに到着（10光年、11.11年）：10光年を光の90％で移動したということです。
　さて、上記の出来事を宇宙船から見てみるとどうなるかを求めてみます。この計算は、ローレンツ変換の式を使います。
(1)宇宙船が地球を出発（0,0）：これも、宇宙船での座標の原点をそのように設定したということです。
(2)植民星Aから電波を発信（12.62光年、-9.18年）：植民星Aから電波を発信したのは、地球を出発するよりも9.18年前の出来事であり、そのとき、植民星Aは、12.62光年の位置にあったということです。宇宙船が地球を出発する時点では、植民星Aは9.18年かけて光の90％の速さで向かってきますから、12.62-0.9C×9.18＝4.36光年となり、宇宙船が地球を出発するときには、植民星Aは4.36光年の位置にあります。これは、10光年の距離がローレンツ収縮した値です。
(3)宇宙船が電波を受信（0、3.44年）：位置が0というのは、宇宙船が原点となる座標系だからです。宇宙船が受信するのですから、その場所は原点となります。(2)で述べたように、9.18年前に12.62光年離れた位置から電波が出てますので、12.62-9.18＝3.44で、地球出発後3.44年で電波が到着します。なお、3.44年は、質問者様の計算でも求められます。
(4)宇宙船が植民星Aに到着（0、4.84年）：(2)で説明したように、地球と植民星Aとの距離は、宇宙船にとっては10光年ではありません。ローレンツ収縮するため、4.36光年になります。そこを光の90％で移動すると、4.84年かかります。
　以上のように、地球と宇宙船とでは、出来事の起こった時間と場所はまったく違ってきます。特に(2)では、宇宙船にとっては、植民星Aが電波を発信するのは、地球を出発する前です。このあたりは理解が難しいと思いますが、次のことに気をつければ理解できると思います。宇宙船が地球を出発する前に植民星Aが電波を発信するとは言っても、それが分かるのは、実際に電波が受信されてからです。電波を受信する前には、電波を発信したという事実は、宇宙船では決してわかりません。それは、光の速さより早く情報が伝わることはないからです。受信した後に、色々な観測結果から、電波を発信したのは地球を出発する前だった、という結論が得られるのです。

Naoki_M · Answer

＃２です。私の前回の回答は一部不正確でした。すみません。第２段落の「正しくは～」以降の数字は無視してください。Aからの通信は未来から届いたわけではない、という結論には間違いはありません。SFに出てくるような超光速通信や超光速航法を考えなければ、未来から通信が届くことはありません。

前回の回答は、次のように考えて書きました。とあるSF小説で、亜光速で航行する宇宙船内で2つのカレンダー（船内時間○年○月○日、地球時間×年×月×日）を使っているものがあったので、この設定を使いました。宇宙船が出発した時間を0年とすると、宇宙船内の記録では次のようになると考えました。
・船内時間０年（地球時間0年）地球を出発する。
・船内時間3.44年（地球時間7.89年）宇宙船に通信が届く。
ここで、通信に「地球時間5年発」とあったとします。「地球時間5年」は「船内時間2.18年」に換算されますから、通信は過去から届いたことになるというのが前回の回答の趣旨でしたが、勘違いしていました。電波を発信したのは地球ではなくAでしたね。地球から見て同じ時刻に起こったことは、宇宙船から見たら同じ時刻に起こっていません。逆も成り立ちます。したがって、宇宙船から見て、Aが電波を発信したのは地球を出発してから2.18年後ではありません。＃３さまの回答のとおり、地球を出発するよりも9.18年前です。

問題の条件を少し変えると、宇宙船にとっては、地球を出発するのと植民星Aが電波を発信するのが同時になることもあります。ややこしくなりますが、説明します。Aが電波を発信するのを、地球から見て5年後から9年後に変更します。地球から見ると、次のようになります。＃３さまの整理された順に書きますが、(1)と(4)は変わらないので省略します。
(2)植民星Aから電波を発信（10光年、9年）
(3)宇宙船が電波を受信（9光年、10年）
これを宇宙船から見ると、次のようになります。
(2)植民星Aから電波を発信（4.36光年、0年）
(3)宇宙船が電波を受信（0、4.36年）
このように、宇宙船にとっては、地球を出発するのと同時（0年）に、植民星Aが電波を発信したことになります。ちなみに、宇宙船の速さがもっと速い場合は、宇宙船にとっては植民星Aが電波を発信したのは地球を出発するよりも前になります。

また、地球から見たときと宇宙船から見たときで順序が変わらないこともあります。Aが電波を発信するのを地球から見て5年後から10.5年後に変更します。地球から見ると、次のようになります。
(2)植民星Aから電波を発信（10光年、10.5年）
(3)宇宙船が電波を受信（9.71光年、10.79年）
これを宇宙船から見ると、次のようになります。
(2)植民星Aから電波を発信（1.26光年、3.44年）
(3)宇宙船が電波を受信（0、4.70年）
この場合は、宇宙船にとっても、植民星Aが電波を発信するのは、地球を出発した後です。植民星Aが電波を発信するのが地球から見て10年後以降の場合、宇宙船の速度がどんなに速くても（超光速を考えなければ）、宇宙船にとっては、植民星Aが電波を発信するのは地球を出発したあとになります。この理由は説明すると長くなるので省略します。キーワードは、光円錐（light cone）、時間的（time-like）領域、空間的（space-like）領域などです。

他にも、特殊相対論ではややこしい結論が出てきます。「不思議宇宙のトムキンス」という本にいろいろと面白い話が載っていました。長文失礼しました。

rey-aw · Answer

ローレンツ変換式には非常に興味があります。
ここから距離、時間ズレも計算して良いと考えています。

しかし、誰かが計算した結果、収縮は、受け売りになってしまい、使うべきでないと考えています。

ローレンツ変換から短縮を導き出したのであれば、
これは計算結果であり、宇宙船が縮んでも、距離が縮んでも仕方が無いとは考えます。
※こう思うのではなく、計算結果です。

ローレンツの短縮「これは正しい法則である」
こう思うのは危険です。

計算結果なら解釈は不要になります。

shiara · Answer

ローレンツ収縮が実際に縮んでいるのかどうか、ということですが、これは、実際に縮んでいると解釈すべきです。といっても、力を加えて縮んでいるものではありませんから、縮んで見える、というのも間違いではありませんが、「縮んでいる」長さは物理的に意味がある値です。
　宇宙船が地球を出発して植民星Aに到着するまでの時間は、地球では11.11年かかります。宇宙船では、時間が遅れるため、4.84年で到着します。普通に考えますと、10光年の距離を4.84年で移動することは、光の速さを超えてしまいますので、不可能です。ですが、宇宙船にとっては、植民星Aまでの距離は10光年ではなく、4.36光年なのです。4.36光年を光の90％の速さで移動すれば、4.84年で到着します。この4.36光年という距離は、地球で測った10光年という距離がローレンツ収縮した値ですが、単にそのように見える、という以上に、宇宙船にとっては現実の距離なのです。
　もし、10光年という値が正しくて、4.36光年が見かけの値である、と考えるならば、地球から見た値が正しくて、他の座標系で測った値は正しくない、ということになります。これは、特別な座標系はない、とする特殊相対性理論の考え方とは違ってきます。特殊相対性理論では、どの座標系も対等であると考えますから、宇宙船で測った値は、宇宙船にとってはそれが正しい値であると考えます。

rey-aw · Answer

ローレンツ収縮とは、等直線運動する物体は観測者から見ると縮んで見える錯覚のような物です。
しかも横です。

実際には縮んでいないのでは？

Naoki_M · Answer

特殊相対性理論ですね。計算自体はよくできていると思います。有効数字などの細かい部分が気になりますが、それを除けば合っていると思います。約1.53年未来からの通信を傍受する、という部分は、カレンダー上で考えれば確かにそうなります。でも、通信自体は未来から来たわけではありません。例えば、イギリスで日本からの放送を受信することを考えてみてください。時計の上では9時間未来から来たことになりますが、未来からの通信を受信したとは考えませんよね。それと同じことです。

一方、カレンダー上の時間ではなく、宇宙船内での実際の時間を求めたいのであれば、計算に注意が必要です。足し算、引き算のときはどんなときでも、「ものさしをそろえる」というのが原則です。地球＆Ａの時間も、宇宙船内の時間も、単位は同じ「年」ですが、ものさしが違うので、直接足したり引いたりはできません。正しくは、地球＆Ａの時間で5年後ということは、宇宙船の中の人にとっては、出発してから約2.18年後（5*√(1-0.9^2)≒2.18）ですから、3.47-2.18=1.29で、宇宙船内の時間で考えれば1.29年前の通信を受信したことになります。これは地球＆Ａ時間の約2.89年を宇宙船内の時間に換算したものと等しくなります。

相対論では時間も空間も絶対的なものではないので、誰から見たものなのか常に意識しておかないと、混乱のもとになります。また、相対論は間違っているというトンデモがありますが、この点に気をつければ、だいたいは見破れると思います。

DoragonFang · Answer

単純に速度と距離の問題とすると、式が違うような気がしますが。

宇宙船が通信を受け取るまでの時間をA時間（地球時間）とする（つまり電波が光速100%で飛んでいると仮定して）と、
すでに宇宙船は４．５光年飛んでいますから、
宇宙船がA時間に飛ぶ距離＋宇宙船と地球の距離＝電波がA時間に飛ぶ距離
　となるはずで、式は

０．９A＋４．５＝１A
　　　　　４．５＝０．１Ａ
　　　　　　Ａ＝４５

　で、４５年後に通信を受け取るはずです。
　と言うことはすでに植民星について、たぶん帰ってきてますね(笑)。

　実際の光速の計算は違うのかもしれませんが、
算数として考えると上記のようになります。

　実際に絵を描いてみるとわかりやすいですよ。

亜光速宇宙船の航行について

考え方は間違ってはおりませんが、3.47年ではなく、3.44年がより正確です（No2様のご指摘の通りです）。

＃２です。

ローレンツ変換式には非常に興味があります。

ローレンツ収縮が実際に縮んでいるのかどうか、ということですが、これは、実際に縮んでいると解釈すべきです。

ローレンツ収縮とは、等直線運動する物体は観測者から見ると縮んで見える錯覚のような物です。

特殊相対性理論ですね。

単純に速度と距離の問題とすると、式が違うような気がしますが。

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　ローレンツ収縮が実際に縮んでいるのかどうか、ということですが、これは、実際に縮んでいると解釈すべきです。