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次の関数
x^2・log(1-e^(-x))
を0から∞まで積分すると、π^4(パイの4乗)が出て来るそうですが、どうしたらいいのでしょうか?

A 回答 (2件)

このタイプ(答えにπのベキやe^(-x)がある)の積分は定石があり


ます。

y=e^(-x) (x∈(0,∞))として、テーラー展開
 log(1-y)=-(y+y²/2+y³/3+・・・+yⁿ/n+・・・) (|y|<1)
を使うと

 I=∫[0→∞] x²log(1-e^(-x))dx
  =-∫[0→∞] x²{e^(-x)+e^(-2x)/2+e^(-3x)/3
    +・・・+e^(-nx)/n+・・・}dx
ここで
 A=∫[0→∞] x²e^(-nx)/n dx=(1/n){ [x²e^(-nx)/(-n)][∞,0]
   -∫[0→∞] 2xe^(-nx)/(-n) dx }
  =0+(2/n²){[xe^(-nx)][∞,0] - ∫[0→∞] e^(-nx)/(-n) dx
  =(2/n²){ 0+(1/n)[e^(-nx)/(-n)][∞,0] }=2/n⁴

したがって
 I=-Σ[n=1,∞] 2/n⁴
となる。

この式はツェータ関数の公式から
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC …

 I=-2ζ(4)=-2π⁴/90=-π⁴//45
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この回答へのお礼

すごいですね。思いもよりませんでした。
どんな本を読んだらこんな解法がでてくるんだろう・・・。

お礼日時:2021/09/02 00:04

今は亡き、EMAN氏の掲示板で議論されていました。


ちなみに、無限和はフーリエ級数で求められるようです。
https://www.geisya.or.jp/~mwm48961/electro/fouri …
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この回答へのお礼

勉強します。

お礼日時:2021/09/03 18:07

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