難しい積分

次の関数
x^2・log(1-e^(-x))
を０から∞まで積分すると、π^4（パイの4乗）が出て来るそうですが、どうしたらいいのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/09/01 09:45

このタイプ（答えにπのベキやe^(-x)がある）の積分は定石があり

ます。

y=e^(-x) (x∈(0,∞))として、テーラー展開
　log(1-y)=-(y+y²/2+y³/3+･･･+yⁿ/n+･･･)　(|y|<1)
を使うと

　I=∫[0→∞] x²log(1-e^(-x))dx
　 =-∫[0→∞] x²{e^(-x)+e^(-2x)/2+e^(-3x)/3
　　　　+･･･+e^(-nx)/n+･･･}dx
ここで
　A=∫[0→∞] x²e^(-nx)/n dx=(1/n){ [x²e^(-nx)/(-n)][∞,0]
　　　-∫[0→∞] 2xe^(-nx)/(-n) dx }
　　=0+(2/n²){[xe^(-nx)][∞,0] - ∫[0→∞] e^(-nx)/(-n) dx
　　=(2/n²){ 0+(1/n)[e^(-nx)/(-n)][∞,0] }=2/n⁴

したがって
　I=-Σ[n=1,∞] 2/n⁴
となる。

この式はツェータ関数の公式から
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC …

　I=-2ζ(4)=-2π⁴/90=-π⁴//45

この回答へのお礼

すごいですね。思いもよりませんでした。
どんな本を読んだらこんな解法がでてくるんだろう・・・。

お礼日時：2021/09/02 00:04

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/09/02 07:37

今は亡き、EMAN氏の掲示板で議論されていました。

ちなみに、無限和はフーリエ級数で求められるようです。
https://www.geisya.or.jp/~mwm48961/electro/fouri …

この回答へのお礼

勉強します。

お礼日時：2021/09/03 18:07